23 הבעיות של הילברט
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הבעיות של הילברט הן רשימה של 23 בעיות פתוחות במתמטיקה, שהוצגה על-ידי המתמטיקאי דויד הילברט ב-8 באוגוסט 1900 בועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים. כל השאלות שהוצגו היו בלתי-פתורות באותה תקופה, ולרבות מהן הייתה השפעה ניכרת על המתמטיקה של המאה ה-20.
בקונגרס הוצגו רק 10 מן השאלות (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ו-22) והרשימה המלאה התפרסמה רק מאוחר יותר.
להלן כל 23 השאלות שהציג הילברט ומצבן הנוכחי:
| בעיה 1 | נסגרה | בעיית קנטור בנושא המונה של הרצף (הכרעה לגבי השערת הרצף) |
| בעיה 2 | נסגרה | האם האקסיומות של האריתמטיקה קונסיסטנטיות |
| בעיה 3 | נסגרה | שוויון נפחים של שני טטראדרים |
| בעיה 4 | נסגרה | מציאת גאומטריות רב ממדיות במרחב תוך שמירה על אקסיומות שקרובות לגאומטריה האוקלידית כאשר הסדר וכן שמונת האקסיומות של הילברט (האינסידנטיות) נשמרות, האקסיומות הקונגרואנטיות נשמרות בצורה החלשה, ותוך התעלמות מהשערת המקביליות. הבעיה נפתרה על ידי ג. המל. |
| בעיה 5 | נסגרה | האם חבורות רציפות הן בהכרח חבורות גזירות? |
| בעיה 6 | לא מתמטית | טיפול מתמטי באקסיומות הפיזיקה (בנייה אקסיומטית של כל הפיזיקה) |
| בעיה 7 | נסגרה | האם ab טרנסצנדנטי , כאשר a ≠ 0,1 אלגברי ו-b אלגברי אי-רציונלי ? |
| בעיה 8 | פתוחה | בעיות של מספרים ראשוניים: הוכחת השערת רימן והשערת גולדבך |
| בעיה 9 | נסגרה | הכללת חוק ההדדיות לכל שדה מספרים אלגברי |
| בעיה 10 | נסגרה | למצוא כלי שייקבע לכל משוואה דיופנטית האם היא פתירה |
| בעיה 11 | נסגרה | הכללת התוצאות הידועות לתבניות ריבועיות לשדה מספרים אלגברי כלשהו |
| בעיה 12 | נסגרה | הרחבת התאוריה של קרונקר על חוגים אבליים לכל חוג |
| בעיה 13 | נסגרה | הוכחת אי-פתירות של כלל המשוואות ממעלה 7 באמצעות פונקציות בשני משתנים |
| בעיה 14 | נסגרה | הוכחת הסופיות של מערכות שלמות מסוימות של פונקציות |
| בעיה 15 | נסגרה | הנחת תשתית ריגורוזית לחשבון המנייה של שוברט (Schubert's enumerative calculus) |
| בעיה 16 | פתוחה | מציאה ופיתוח טופולוגיה של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים. תאוריית טניאמה-שימורה (Taniyama-Shimura) מכוונת למטרה זו. |
| בעיה 17 | נסגרה | הצגת פונקציה רציונלית הומוגנית חיובית כמנת סכומים של ריבועים (אמיל ארטין, 1927) |
| בעיה 18 | נסגרה | האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב? מהי האריזה היעילה ביותר של ספרות במרחב? (השערת קפלר) |
| בעיה 19 | נסגרה | האם הפתרונות של לגראנז'יאן הם תמיד אנליטיים? |
| בעיה 20 | נסגרה | האם לכל הבעיות הווריציונאליות, בהינתן תנאי שפה מסוימים, יש פתרונות? |
| בעיה 21 | נסגרה | הוכחת קיום של משוואה דיפרנציאלית לינארית עבור כל חבורת מונודרומיה נתונה |
| בעיה 22 | נסגרה | האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות פונקציות אוטומורפיות |
| בעיה 23 | נסגרה | התפתחות נוספת בתחום חשבון וריאציות |
לפי דבריהם של ראו וגריי (Rowe & Gray, ראו הפניה בהמשך), רוב השאלות שהוצגו על ידי הילברט בשנת 1900, נפתרו. חלק מהן לא הוגדרו היטב, אבל הושגה התקדמות מספקת על מנת להגדירן כ"פתורות". ראו וגריי מציינים את הבעיה הרביעית כמעורפלת מדי מכדי להחליט אם היא נסגרה או לא.
כמו-כן, הם מנו את הבעיה השמונה-עשרה כבעיה פתוחה, בזמן הוצאת ספרם בשנת 2000 וזאת מכיוון ש"בעיית סידור התפוזים במרחב", הידועה גם כהשערת קפלר נשארה בלתי-פתורה, אבל בימים אלו נבדק פתרון שהוצע (ראו הפנייה בהמשך). כרגע קיים עיכוב בבדיקת הטענה משום שראש צוות הבדיקה הודיע כי בגלל עומס הפרטים בהוכחה אין הוא יכול להכריע לגבי נכונתה. יתר על-כן, נרשמו בעשור האחרון התקדמויות גם בפתרון הבעייה השש-עשרה.
בעיה 8 מכילה שתי שאלות מפורסמות, אשר שתיהן נשארו בלי פתרון. הראשונה שבהן, השערת רימן, היא אחת משבע השאלות של פרס המילניום של קליי, אשר אמורות להוות "רשימת הילברט" חדשה למאה ה-21.
[עריכה] הבעיה העשרים וארבע
בזמן הכנת רשימת הבעיות עמדו בפני הילברט עשרים וארבע שאלות רשומות, אך הילברט החליט שלא לצרף אחת מהן לרשימתו הסופית. הבעיה העשרים וארבע עסקה בהוכחת השערה הנוגעת לפשטות ושיטות כלליות. בעיה זו התגלתה על ידי Rüdiger Thiele.
[עריכה] קישורים חיצוניים
- המאמר המקורי של הילברט (בגרמנית)
- המאמר המקורי של הילברט, בתרגום לאנגלית
- פרטים על פתרון הבעיה ה-18
- The Mathematical Gazette, March 2000 (page 2-8) "100 Years On"
- "על הבעיה ה-24 של הילברט: דיווח על חומר חדש והערות"
[עריכה] לקריאה נוספת
- Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press.
