Traité projectif des coniques/Dans un plan pappusien

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La géométrie est l'art de raisonner juste sur des figures fausses. (Fernand Reynaud)

Dans un plan arguésien on ne peut pas définir le concept de conique, seulement le concept de bi-ensemble de points dont tous les hexagrammes alternés sont pascaliens. Maintenant, si on s'octroie le droit d'utiliser l'axiome de Pappus, tout se simplifie, les coniques existent, la tangente en un point aussi, les polaires aussi.

Sommaire

1 Les axiomes préalables
2 Anticipation: hexagone de Brianchon et hexagramme de Pascal
3 La définition d’un ensemble pascalien
4 Ce que l'on sait de l'approche de Pascal lui-même.
5 Plan projectif arguésien et absence des coniques.
6 Plan projectif pappusien et coniques.
7 Plan projectif fondamental et coniques.
8 Plan projectif homogène et coniques.
9 Pour approfondir.

[modifier] Les axiomes préalables

[modifier] Anticipation: hexagone de Brianchon et hexagramme de Pascal

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[modifier] La définition d’un ensemble pascalien

[modifier] Ce que l'on sait de l'approche de Pascal lui-même.

[modifier] Plan projectif arguésien et absence des coniques.

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Résumé. Dans un plan projectif arguésien les coniques n'existent pas. On peut y seulement faire 6 permutations (sur 60) d'un hexagramme pascalien.

[modifier] Plan projectif pappusien et coniques.

La première démarche sera de montrer que toute permutation d'un Hexagramme de Pascal conserve la propriété de pascalinité. Puis toutes les conséquences viennent assez facilement (tangente en un point, intersection avec une droite, polaires). La définition d'une conique en termes d'Hexagramme de Pascal est proche de celles par la constance du rapport anharmonique, par les équations du second degré, par la transformation homographique d'un faisceau de droites.

[modifier] Substitution de deux voisins.

Le théorème principal est : Dans un plan projectif pappusien, si un hexagramme est pascalien, alors l'hexagramme obtenu en substituant deux points voisins est lui aussi pascalien. Sur la figure ci-contre la conique est simplement évoquée en forme de "patatoïde", on ne travaille que sur 6 de ses points, on échange les points P3 et P4 pour étudier l'hexangle ordonné P1 P2 P4 P3 P5 P6 P1.

Démonstration des deux voisins

En d’autres termes si le plan est pappusien et si le produit $\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}C \\ B \\ A \end{pmatrix}$ donne un tripoint CBA aligné alors le produit $\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}Y \\ Z \\ A \end{pmatrix}$ donne aussi un tripoint YZA aligné.

Bien entendu, une fois démontrée l'invariance de la propriété à une substitution de 2 voisins, compte tenu de l'invariance de la propriété à la permutation circulaire des 6 points, on peut engendrer les 60 permutations de l'hexagramme et en déduire que la propriété est vraie pour tous. En d'autres termes, Dans un plan projectif pappusien, si un hexagramme ordonné est pascalien, alors les 59 autres hexagrammes ordonnés le sont.

[modifier] Un quadrillage complet dans un plan projectif pappusien.

La figure de l'hexagramme pascalien dans laquelle on distingue 2 points (P5 et P6)que l'on relie aux quatre autres points forme un quadrillage 4x4 qui ne manque pas de rappeler un sol carrelé de certaines peintures de la renaissance mais qui serait vu en biais. :Ni de nous rappeler la méthode de Leone Battista Alberti, avec utilisation des diagonales à 45° qui convergent aux points de distance de la perspective. La figure d'Alberti est un cas particulier de quadrillage projectif dans lequel le "punctus lateralis" serait à l'infini sur la ligne d'horizon, la moyenne diagonale 12-34 contiendrait aussi le point P23, la grande diagonale P1-P4 contiendrait aussi les points P2 et P3 (idem pour les autres moyennes diagonales et l'autre grande diagonale), la conique qui contient les points P1,2,3,4,5,6 serait dégénérée en une bidroite (P5-P6)-(P1-P4), ce qui n'empêche pas l'hexagramme 1-2-5-4-3-6-1 d'être pascalien. Deplus dans la figure d'Alberti les 4 points sont alignés sur la ligne d'horizon (centricus, lateralis à l'infini, et les pyramidis gauche et droit).

Image:QuadrillageProjectifHexagramme123456.PNG

Puisque nous sommes dans l'univers du plan projectif non-euclidien et non-affine (pas de distance, pas d'angle, pas de parallèlisme) nous devons abandonner l'idée du pavage par des carreaux égaux, abandonner l'idée de carreaux à côtés parallèles et abandonner l'idée de diagonales à 45°.Que reste-t'il? Un quadrillage non-parallèle 4x4, et diverses diagonales (nous en retiendrons 12) qui ont des propriétés minimalistes.

Dans cette figure, il y a un hexagramme ordonné : P5-1-2-6-4-3-5. De deux choses l'une, soit il n'est pas pascalien, soit il l'est. S'il l'est, que peut-on dire de diverses droites diagonales du quadrillage, par exemple 12-21, 13-31, 14-41, 23-32, 24-42, 34-43 ? ou bien 13-24, 12-34, 2-3, 1-4, 21-43, 31-42? et bien d'autres

Démonstration des diagonales du Quadrillage

[modifier] Existe-t-il une tangente dans un plan projectif pappusien?

[modifier] Intersection droite/conique dans un plan projectif pappusien.

[modifier] Polaire dans un plan projectif pappusien.

[modifier] Hexagrammes mystiques en géométrie euclidienne.

En géométrie euclidienne on rencontre souvent des hexagrammes pascaliens sans s'en douter. Le cas le plus connu concerne le cercle d'Euler, ou de Feuerbach, cas particulier de conique à propos de laquelle on peut démontrer que la droite d'Euler est la droite de Pascal de l'hexagramme mystique H1-I2-H3-I1-H2-I3-H1. Image:DemonstrationEulerHexagrammePascal.png

Dans le même esprit il est intéressant d'examiner les propriétés relatives des 2 trigones (ABC) et H1I2, H2I3, H3I1: sont-ils en perspective arguésienne?

On peut se poser le même genre de questions à propos du point de Lemoine et de la conique éventuelle qui passerait par les 6 pieds des céviennes concernées.

D'une manière plus générale on peut considérer 6 points: les pieds des céviennes d'un point P et les pieds des céviennes de son conjugué isogonal Q; réf biblio par exemple La géométrie du triangle, Yvonne et René Sortais, Hermann, 1997, chapitres à partir de "isogonalité". Ces 6 points sont-ils sur un hexagramme pascalien? Si oui la conique correspondante est-elle un cercle? quelles sont les propriétés de la droite de Pascal associée à l'ordre P1-Q2-P3-Q1-P2-Q3-P1? Quelles sont les propriétés des deux points de concours des deux fois trois droites de Pascal issues des permutations de l'hexagramme qui respectent l'alternance P-Q-P-Q-P-Q? La connaissance préalable des propriétés projectives de ces êtres mathématiques permet de faire appel aux propriétés d'angles et d'orthogonalité seulement au moment crucial.

[modifier] Hexagramme et définitions traditionnelles d'une conique.

Si, dans un plan projectif pappusien, nous pouvons définir le concept de conique grâce à l'hexagramme pascalien, il faut voir si ce concept correspond avec les définitions traditionnelles des coniques.

[modifier] Lien avec les rapports anharmoniques.

A partir d'un hexagramme pascalien, peut-on inférer qu'il y a conservation du rapport anharmonique sur une conique? La réponse est oui si le plan est pappusien. La démonstration se fait sur la figure du quadrillage complet vue précédemment. En employant les notations traditionnelles des rapports anharmoniques en géométrie euclidienne, on démarre avec le birraport RO des 4 droites du faisceau P5: (P5-P1), (P5-P2),(P5-P3)et (P5-P4), RO= ((P5-P1),(P5-P2),(P5-P3), (P5-P4))= ((P5-P1),(P5-12),(P5-13), (P5-14))= ((V-P1),(V-12),(V-13), (V-14))= ((V-P1),(V-21),(V-31), (V-41))= ((P6-P1),(P6-21),(P6-31), (P6-41))=((P6-P1),(P6-P2),(P6-P3), (P6-P4)), V étant figuré par le point d'interrogation sur l'image.

Nous avons donc établi l'égalité de deux birapports de faisceaux

((P5-P1),(P5-P2),(P5-P3), (P5-P4)) = ((P6-P1),(P6-P2),(P6-P3), (P6-P4))

On en déduit que, connaissant 5 points P1 ,2 3 4 5, on décrit la conique en faisanr bouger le sixième point à rapport anharmonique constant.

[modifier] Lien avec le second degré.

On peut établir d'abord ce lien en coordonnées homogènes, puis passer aux coordonnées cartésiennes. Les petites astuces de calcul méritent des explications d'algèbre linéaire. En coordonnées homogènes nous écrirons l'égalité des faisceaux anharmoniques, la conique étant définie par 5 points fixes, le sixième étant mobile. Un rapport anharmonique s'exprime avec 4 produits de matrices (matriceligne * matricecolonne) ou un produit scalaire si on préfère; une matrice-ligne représente une droite du faisceau, droite qui est en fait définie par un point de départ et un point d'arrivée. En coordonnées homogènes ceci se traduit par un "produit vectoriel". Si on enchaîne les deux opérations, on a donc (un produit vectoriel) multiplié scalairement par (un vecteur-colonne), ce qui revient à faire le déterminant des 3 vecteurs en question, mis en colonne. Notre égalité de rapports anharmoniques sera composée d'une équation entre 8 déterminants 3x3.

Dans une conique qui contient les 6 points P1, 2, 3, 4, 5, 6 (et donc les cordes d51, d52, d53 etc) le rapport anharmonique des points 1, 2, 3, 4 vus du point 5 peut être exprimé par

$\rho_5 = \frac{ ( \vec{d_{51} }\cdot \vec{P_2 } ) * ( \vec{d_{53} }\cdot \vec{P_4 } ) }{ ( \vec{d_{52} }\cdot \vec{P_3 } ) * ( \vec{d_{54} }\cdot \vec{P_1 } ) }$ , que l'on peut transformer en

$\rho_5 = \frac{ {\rm Det}( P_5 , P_1 , P_2 ) * {\rm Det}( P_5 , P_3 , P_4 ) }{ {\rm Det}( P_5 , P_2 , P_3 ) * {\rm Det}( P_5 , P_4 , P_1 ) }$

De la même manière le rapport anharmonique des mêmes points 1, 2, 3, 4 vus du point peut être exprimé par

$\rho_6 = \frac{ {\rm Det}( P_6 , P_1 , P_2 ) * {\rm Det}( P_6 , P_3 , P_4 ) }{ {\rm Det}( P_6 , P_2 , P_3 ) * {\rm Det}( P_6 , P_4 , P_1 ) }$

Ecrire que ces deux birapports sont égaux revient à écrire

Det(P 5, P 1, P 2) * Det(P 5, P 3, P 4) * Det(P 6, P 2, P 3) * Det(P 6, P 4, P 1) = Det(P 6, P 1, P 2) * Det(P 6, P 3, P 4) * Det(P 5, P 2, P 3) * Det(P 5, P 4, P 1)

En explicitant les coordonnées homogènes des 6 points, l'équation d'égalité des deux rapports anharmoniques est

$\begin{vmatrix} X_5 & X_1 & X_2 \\ Y_5 & Y_1& Y_2 \\ Z_5 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_3 & X_4 \\ Y_5 & Y_3& Y_4 \\ Z_5 & Z_3 & Z_4 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_6 & X_2 & X_3 \\ Y_6 & Y_2& Y_3 \\ Z_6 & Z_2 & Z_3 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_6 & X_4 & X_1 \\ Y_6 & Y_4& Y_1 \\ Z_6 & Z_4 & Z_1 \end{vmatrix} -$ $\begin{vmatrix} X_6 & X_1 & X_2 \\ Y_6 & Y_1& Y_2 \\ Z_6 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_6 & X_3 & X_4 \\ Y_6 & Y_3& Y_4 \\ Z_6 & Z_3 & Z_4 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_2 & X_3 \\ Y_5 & Y_2& Y_3 \\ Z_5 & Z_2 & Z_3 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_4 & X_1 \\ Y_5 & Y_4& Y_1 \\ Z_5 & Z_4 & Z_1 \end{vmatrix} = 0$

. Si les 5 premiers points sont fixes et le 6ème mobile de coordonnées variables X, Y, Z au lieu de X6, Y6, Z6, on obtient une équation homogène du second degré, donc une conique est une courbe du second degré que l'on peut développer et transformer si on le souhaite.

$\begin{vmatrix} X_5 & X_1 & X_2 \\ Y_5 & Y_1& Y_2 \\ Z_5 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_3 & X_4 \\ Y_5 & Y_3& Y_4 \\ Z_5 & Z_3 & Z_4 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_2 & X_3 &X \\ Y_2& Y_3 &Y \\ Z_2 & Z_3 &Z \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_4 & X_1 &X \\ Y_4& Y_1 &Y \\ Z_4 & Z_1 &Z \end{vmatrix}$ $- \begin{vmatrix} X_5 & X_2 & X_3 \\ Y_5 & Y_2& Y_3 \\ Z_5 & Z_2 & Z_3 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_4 & X_1 \\ Y_5 & Y_4& Y_1 \\ Z_5 & Z_4 & Z_1 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_1 & X_2 &X \\ Y_1& Y_2 &Y \\ Z_1 & Z_2 &Z \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_3 & X_4 &X \\ Y_3& Y_4 &Y \\ Z_3 & Z_4 &Z \end{vmatrix} = 0$

[modifier] Lien avec la définition monofocale

La définition monofocale des coniques, encore appelée définition par foyer et directrice (voir Conique), peut ^tre déduite par calculs de la définition analytique du deuxième degré ci-dessus.

[modifier] Lien avec les faisceaux homographiques

Des exemples peuvent être trouvés dans les pages:

Quelques exemples de constructions
constructions ponctuelles	constructions tangentielles
**************************************************************	**************************************************************
Construction d'un cercle point par point	pour présenter des données chiffrées
Construction point par point	Construction d'une parabole tangente par tangente

La démonstration se fait sur la figure du quadrillage complet vue précédemment. Si l'hexagramme 1254361 est pascalien, alors les diagonales 12-21, 13-31 et 14-41 convergent en un point V figuré ici par le point d'interrogation. Or cette propriété correspond à une correspondance homographique entre faisceaux définie ainsi

Le faisceau de départ est de centre P5,

il est coupé par la droite P6-P14

à partir de ces intersections on définit un faisceau homographique de centre V,

qui à son tour est coupé par la droite P5-P14

à partir de ces intersections on définit le faisceau d'arrivée de centre P6 qui lui est homographique.

l'intersection d'une droite du faisceau P5 de départ et de son homographique du faisceau P6 d'arrivée engendre une conique.

Remarque. En toute rigueur axiomatique pour démontrer cette propriété on a aussi besoin d'être dans un Plan projectif fondamental, qui nous assurera que la définition précédente de la transformation unidimensionnelle entre les faisceaus P5 et P6 est bien une homographie parfaitement définie par les 5 points P1,2,3,6,5, le point 4 étant l'intersection variable d'une droite du faisceau P5 de départ et de son homographique du faisceau P6.

[modifier] Lien avec l'auto-polarité

[modifier] Plan projectif fondamental et coniques.

[modifier] Plan projectif homogène et coniques.

Dans un tel contexte, les propriétés des coniques découlent de celles des équations du deuxième degré dans un corps commutatif. Une conique ponctuelle est définie par une forme quadratique des coordonnées homogènes d'un point. Une conique tangentielle est définie par une forme quadratique des coordonnées homogènes d'une droite. La polarité est définie par le biais du rapport harmonique. Les problèmes d'intersection d'une conique et d'une droite, ou de tangentes, peuvent être élégamment simplifiés par des considérations de rapport anharmonique.

Mais les coniques ne sont pas nécessairement les courbes continues auxquelles la géométrie euclidienne nous a habitués, les coniques peuvent être des ensembles discrets de pointillés, si bien que la notion de tangente (Tangente (géométrie)) en M n'est pas définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M. Tout dépend du Corps (mathématiques) commutatif utilisé.