Théorème de Pappus

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Le théorème de Pappus est peut-être le plus beau théorème de toute la géométrie pour les deux raisons suivantes :

D'abord, parmi tous les théorèmes de géométrie, c'est celui qui demande les hypothèses minimales. Il porte sur deux triplets de points arbitraires respectivement pris sur deux droites coplanaires quelconques. Il ne demande donc comme connaissance que celle de l'alignement de trois points et ne nécessite par exemple ni métrique, ni orthogonalité… On dit qu'il est un théorème de géométrie projective.

Et ensuite ce théorème est le générateur de tous les thèorèmes de géométrie euclidienne par l'enchaînement suivant

D'après un résultat obtenu par D. Hilbert, le théorème de Pappus permet de démontrer le théorème des triangles homologiques.

Dans Leçons de géométrie projective du célèbre géomètre F. Henriqués, on lit : …en se servant du théorème des triangles homologiques […] on pourrait déduire tous les théorèmes de géomètrie projective plane. (voir page 46 de son livre)

Enfin la géomètrie projective contient la géométrie euclidienne comme cas particulier.

On trouvera tous les détails sur ces développements dans les références données en fin d'article. Cette particularité remarquable explique que certains auteurs aient conféré le statut d'axiome à ce théorème, voir axiomes de plans projectifs.

Sommaire

1 Énoncé du théorème
2 Démonstration à l'aide des applications projectives
3 Notions connexes
4 Théorème ou axiome?
5 Sources

[modifier] Énoncé du théorème

Théorème de Pappus

Dans un plan, soient $A 1$ , $B 1$ , $C 1$ trois points distincts quelconques alignés sur une droite quelconque (d) , et soient $A 2$ , $B 2$ , $C 2$ trois autres points distincts quelconques alignés sur une autre droite quelconque (d') alors les points

A intersection de $(B 2 C 1)$ avec $(C 2 B 1)$
B intersection de $(A 2 C 1)$ avec $(C 2 A 1)$
C intersection de $(A 2 B 1)$ avec $(B 2 A 1)$

sont alignés.

Il s'agit d'un théorème de géométrie projective donc les points considérés peuvent être propres ou impropres. Dans le cas où tous les points sont propres, on obtient une configuration du type ci-contre.

Remarque :

si l'on note (d") la droite portant les points A,B,C alors les assertions suivantes sont équivalentes (en géométrie projective) :

-- les trois droites (d) (d') et (d") sont concourantes ;

-- les trois droites $(A 1 A 2)$ $(B 1 B 2)$ $(C 1 C 2)$ sont concourantes ;

-- les six droites « croisillons » $(B 2 C 1)$ $(C 2 B 1)$ $(A 2 C 1)$ $(C 2 A 1)$ $(A 2 B 1)$ $(B 2 A 1)$ sont tangentes à une même conique.

[modifier] Démonstration à l'aide des applications projectives

Démonstration du théorème

On construit les points O intersection de (d) et (d'), D intersection de $(A 1 B 2)$ et $(A 2 C 1)$ et E intersection de $(A 1 C 2)$ et $(C 1 B 2)$

On considère la projection centrale p de la droite $(A 1 B 2)$ sur la droite (d) de centre $A 2$

$A 1$ a pour image $A 1$
C a pour image $B 1$
D a pour image $C 1$
$B 2$ a pour image O

On considère la projection centrale q de la droite (d) sur la droite $(B 2 C 1)$ de centre $C 2$

$A 1$ a pour image E
$B 1$ a pour image A
$C 1$ pour image $C 1$
O a pour image $B 2$

Par l'application projective q o p de la droite $(A 1 B 2)$ sur la droite $(B 2 C 1)$

$A 1$ a pour image E
C a pour image A
D a pour image $C 1$
$B 2$ a pour image $B 2$

Si on regarde maintenant la projection centrale r de la droite $(A 1 B 2)$ sur la droite $(B 2 C 1)$ de centre B

$A 1$ a pour image E
D a pour image $C 1$
$B 2$ a pour image $B 2$

Or, une application projective d'une droite sur une autre est entièrement déterminée par l'image de trois points distincts. Les transformations q o p et r coïncident sur $A 1$ , D et $B 2$ . Elles sont donc égales et $r (C) = A$ . Les points A, B et C sont donc alignés.

[modifier] Notions connexes

Le Théorème d'Hessenberg qui fait le lien entre le théorème de Pappus et le théorème de Désargues.
Le théorème de Pappus-affine dans le plan affine.
L'Hexagramme de Pascal dont la configuration de Pappus est une version dégénérée (la conique est une bidroite).
Enfin il est indispensable de rappeler que la configuration de Pappus est un bel exemple de Dualité (géométrie projective).

[modifier] Théorème ou axiome?

Tout dépend dans quelle géométrie on se situe. Si on travaille dans un contexte de géométrie euclidienne, cette propriété n'est qu'un théorème découlant d'axiomes plus puissants.

En revanche, dans un contexte de géométrie projective, si on travaille dans un plan projectif pappusien, c'est un de nos axiomes de construction de ce plan. Si on travaille dans un plan projectif homogène, c'est un théorème qui découle d'un autre ensemble d'axiomes.

[modifier] Sources

Leçons de géométrie projective de F. Enriqués
Petite encyclopédie de mathématiques Ed. Didier
Enfin un site où sont donnés de nombreux développements sur le Thèorème de Pappus:Merveilleux Pappus