Traité projectif des coniques

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Les coniques ont été définies de mille manières au cours des siècles, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. Actuellement on aime les définir par la notion monofocale d'excentricité (voir conique). Avantages : il n'y a que des calculs, ils sont du niveau terminale de lycée ; inconvénients : un peu trop de géométrie analytique, peu de dessin. Une autre approche est classique, elle définit une conique comme l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution; on pourrait lui reprocher de nécessiter la connaissance du cercle, donc la connaissance préalable de la notion de distance ou de la notion d'angle droit, donc d'une connaissance préliminaire d'un espace métrique. Or le dessin des coniques dans un plan, fût-il euclidien sans le savoir, devrait se dispenser de tels prérequis. Une approche purement géométrique à base de règle et crayon, sans équerre ni compas ni double décimètre est présentée ici. On démarre avec quelques axiomes de plans projectifs, ce qui est une expression bien savante pour désigner les alignements et les intersections, on continue le plus loin possible sans utiliser les distances ni les angles. Dans un espace géométrique axiomatisé, fruit de la seule imagination des mathématiciens, on crée des êtres mathématiques particuliers, les coniques, et on se demande si elles peuvent coïncider avec nos coniques traditionnelles.

Sommaire

1 Les axiomes préalables
2 Anticipation: hexagone de Brianchon et hexagramme de Pascal
3 La définition d’un ensemble pascalien
4 Ce que l'on sait de l'approche de Pascal lui-même
5 Plan projectif arguésien et absence des coniques.
- 5.1 Être mathématique qui préfigure la conique dans un plan projectif arguésien.
- 5.2 Existe-t-il une tangente dans un plan projectif arguésien?
6 Plan projectif pappusien et coniques.
7 Plan projectif fondamental et coniques.
8 Plan projectif homogène et coniques.
9 Pour approfondir

[modifier] Les axiomes préalables

Un plan projectif (PPI) d’incidence est un PP qui vérifie les axiomes :

Il existe au moins 2 points.
Chaque droite possède au moins 3 points.
Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
Deux droites distinctes ont un et un seul point commun.
Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.
(Auxquels on ajoute l’axiome « invisible » d’abondance : toute droite et tout point du PPI possèdent respectivement autant de points et de droites qu’il est nécessaire pour que la configuration étudiée ne soit pas nécessairement dégénérée).

Un plan projectif arguésien (PPA) est un PPI qui vérifie l’axiome de Desargues : Soient ABC et A'B'C' trois triangles sans point commun tels que les droites (AA'), (BB'), (CC') sont incidentes à un même point alors les points d'intersection des droites (AB) et (A'B'), (AC) et (A'C'), (BC) et (B'C') sont incidents à une même droite.
Un plan projectif de Pappus (PPP) est un PPI qui vérifie l’axiome de Pappus : Dans un plan , soient A1, B1, C1 trois points distincts quelconques alignés sur une droite quelconque (d), et soient A2, B2, C2 trois autres points distincts quelconques alignés sur une autre droite quelconque (d'), alors les points A intersection de (B2C1) avec (C2B1), B intersection de (A2C1) avec (C2A1), C intersection de (B2A1) avec (A2B1) sont alignés.

[modifier] Anticipation: hexagone de Brianchon et hexagramme de Pascal

Les trois questions importantes que posent les coniques sont:

Intersection avec une droite
Tangente en un point
nombre de points nécessaires et suffisants pour définir une conique?

Annonçons tout de suite avant de les démontrer deux grands théorèmes des coniques. Soit un hexagone inscrit dans une conique. Soient A, B et C les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone s'ils existent. Le théorème de Pascal affirme que A, B et C sont alignés. La droite que forme cet alignement est appelée droite de Pascal. La figure obtenue par la construction est appelée hexagramme mystique. Ce théorème est le dual du théorème de Brianchon qui s'énonce ainsi : Les diagonales joignant les sommets opposés d'un hexagone sont concourantes si et seulement si cet hexagone est circonscrit à une conique.

Questions soulevées par l'explosion combinatoire.

La configuration de Pappus offre une forte permutation; il y a 6 hexagrammes non dégénérés (A1 C2 B1 A2 C1 B2; A1 C2 B1 B2 C1 A2; A1 B2 B1 C2 C1 A2; A1 B2 B1 A2 C1 C2; A1 A2 B1 B2 C1 C2; A1 A2 B1 C2 C1 B2; ), donc 6 droites de Pappus. Quelles sont les propiétés de ces 6 droites? En fait on peut démontrer qu'elles sont concourantes en deux groupes de 3. Mais de quels axiomes minimaux a-t-on besoin pour démontrer cette propriété? L'axiome Fondamental de la géométrie projective est-il indispensable? l'axiome de Désargues suffirait-il? Quant à l'hexagramme de Pascal, de nombreux mathématiciens du XIXème siècle se sont penchés sur les diverses permutations du parcours des 6 points. Il s'agit particulièrement de Bauer, Catalan, Cayley, Fontaneau, Gräfe, Grossmann, Hesse, Jörres, Kirkman, Ladd-Franklin-Christine, Little, Lüroth, Meyer, Molk, Plücker, Salmon, Jakob Steiner, Veronese-G., von Staudt. Avec 6 points, on peut réaliser 60 parcours hexagonaux, donc 60 droites de Pascal. Quelles sont les propriétés de ces 60 droites, comment sont disposées leurs intersections dans le plan? Quel rapport avec les 60 points de Brianchon que l'on peut dualement envisager? Par exemple Steiner a montré qu'elles sont concourantes 3 à 3, d'où 20 «points de Steiner». Comment sont disposés ces points, à quel sous-ensemble de permutation correspond chaque point? Quelles sont leur 20 polaires, ont-elles un rapport avec les 60 droites de Pascal? Ce regroupement par 3 peut-il, comme celui de la figure de Pappus, être démontré par l'axiome de Désargues ou doit-oon faire appel à l'axiome Fondamental de la géométrie projective? Ces propriétés ont-elles un lien avec la conservation du rapport anharmonique sur une conique? Comment, à partir de la découverte de la perspective à la Renaissance en est-on arrivé à se poser ce type de problématique?

[modifier] La définition d’un ensemble pascalien

[modifier] Vocabulaire nécessaire

Il convient d'être un peu rigoureux.

Hexangle désordonné. Définition : un hexangle désordonné est un sous-ensemble de 6 points du plan. Notation classique de la théorie des ensembles : {M, N , P Q , R S}, parfois on oublie les virgules.
Hexagone désordonné. C’est un mauvais emploi du mot lorsqu’on l’utilise par abus de langage pour parler de l’hexangle désordonné {M, N , P , Q , R , S}, lorsqu’il n’y a pas ambiguïté cet abus n’est pas grave. Mais il faut veiller à la rigueur par exemple quand on compare le théorème de Brianchon et celui de Pascal.
n-angle désordonné. Définition : un n-angle désordonné est un sous-ensemble de n points du plan, c’est banal comme le montrent les termes de "triangle" ou "quadrangle complet".
Hexagone ordonné. Définition : étant donnés 6 points distincts, un hexagone ordonné est un ensemble de 6 droites telles que chaque droite est définie par deux points distincts et que chaque point apparaisse 2 fois et 2 fois seulement dans les droites. Exemples : {MN ,NP , PQ , QR , RS , SM } = {MN , MS, QR , RS NP , PQ } différent de {MS , SP , PQ , QN , NR , RM }. Une autre notation possible qui est presque un abus de langage est, sous forme d’un cycle ordonné de 6 points = (MNPQRSM) = {MN ,NP , PQ , QR , RS , SM } = aussi (PQRSMNP) et aussi = (MSRQPNM). On remarque deux choses, le rebouclage du 7^e point sur le premier de la séquence et l’indifférence au sens de rotation. Bien sûr un hexangle désordonné donne naissance à 60 hexagones ordonnés, soit (6-1)!/2 . 6-1 car on peut toujours commencer par M, divisé par 2 par indifférence au sens de rotation.
Hexagone ordonné extrait d’un n-angle désordonné. Définition : on dit qu’un hexagone ordonné est extrait d’un n-angle désordonné avec n > 5 lorsqu’il comporte 6 des points de ce n-angle. D’un n-angle désordonné on peut extraire un grand nombre d’hexagones ordonnés.
Dans la pratique. Hormis dans quelques rares cas cruciaux, les auteurs tolèrent les approximations de langage.

Si l’ordre est indifférent, on parlera d’un ensemble de 6 points {A ;B ;C ;D ;E ;F}, d’un ensemble de 6 droites {a ;b ;c ;d ;e ;f } ou {(AB) ;(BF) ;(DC) ;(AE) ;(CE) ;(FD)}.

Si l’ordre est important, on écrira des n-uplets rebouclés, par exemple (A-B-F-D-C-E-A) ou (e-b-c-a-f-d-e) = [(MN)-(NO)-(OP)-(PQ)-(QR)-(RM)-(MN)] = par tolérance(M-N-O-P-Q-R-M), le contexte seul permettant de lever l’ambiguïté ; dans un contexte de Pascal on sait qu’on travaille sur des points, qu’on examine l’alignement de TUV ; dans un contexte de Brianchon, on travaille sur des droites, on examine la convergence de j,k,l.

[modifier] Ensemble pascalien, définition

Hexagone pascalien ou hexagramme de Pascal. Définition : un hexagone pascalien

est un hexagone ordonné
dont les croisillons opposés forment trois points alignés.

Ce dernier point est équivalent à l'existence d'une conique circonscrite à l'hexagone. Cette conique pouvant être dégénérée en droites, on remarque que la configuration de Pappus est un cas particulier d'hexagramme de Pascal.

Pentagramme pascalien. Lorsque deux points de l'hexagramme sont confondus, on obtient un pentagramme « coiffé » d'une droite, figure pour laquelle on peut tout de même trouver une propriété pascalienne d'intersections et d'alignements; ce type de droite permettra d'explorer la notion de tangente à la conique.

Ensemble pascalien. Définition : un ensemble pascalien est un n-angle désordonné avec n > 5 dont tous les hexagones ordonnés extraits sont pascaliens. Exemple :

[modifier] Besoin d’un concept-clef

Nous nous inspirons du théorème de Pascal pour introduire ce qui fait vraiment l'originalité projective des coniques, c'est à dire un concept composé uniquement d'alignements et d'intersections.

Définition d'une conique. Dans un plan projectif d'incidence, une conique est un ensemble C maximal de points tel que tous les hexagrammes ordonnés construits avec 6 points distincts quelconques de cet ensemble soient pascaliens.

Par ensemble maximal possédant la propriété on entend: Si l'on ajoute n'importe quel nouveau point à cet ensemble, alors au moins un hexagramme ordonné contenant ce nouveau point n'a pas la propriété souhaitée.

Il reste à savoir si on peut trouver des coniques dans les diverses sortes de plans projectifs ( arguésien, pappusien, fondamental, homogène ?), si oui quels propriétés intéressantes elles ont.

[modifier] Ce que l'on sait de l'approche de Pascal lui-même

Pascal, Œuvres complètes, Bibliothèque de la Pléiade, Paris, Gallimard, nouvelle édition de 1998 par Michel le Guern.

Blaise Pascal (1623-1662) durant sa courte vie a écrit quatre traités de géométrie dont un est perdu, malheureusement c'est celui qui approfondissait les coniques.

Pascal et les coniques

Simultanément aux coniques, Pascal a été beaucoup occupé par d'autres sujets tels que la religion, la machine arithmétique (une calculette à engrenages), les expériences sur la pression atmosphérique, la roulette (cycloïde), le centre de gravité, la logique pure, la triangle arithmétique, les probabilités. Si bien qu'il est difficile de retrouver son cheminement sur les coniques. De plus son vocabulaire mathématique n'est pas celui du XXIème siècle, bien pire - son père lui ayant interdit de faire des mathématiques - il appelait les cercles et les droites des "ronds" et des "traits" pendant toute son enfance d'après le récit de sa soeur. Ce qui nous montre au passage qu'il n'est pas besoin d'un vocabulaire scientifique puriste pour être un grand découvreur.

Les ouvrages sont :

Traité des coniques, écrit à 16 ans d'après sa soeur, soit vers 1639-1640. OUVRAGE PERDU.
Essai pour les coniques. 1640.
Introduction à la géométrie. date supposée 1654 ou 55.
Génération des sections coniques (date, entre 1641 et 1654 ?).
Nous disposons cependant de quelques commentaires de la lecture du traité des coniques :
Notes de Leibniz et Tschirnhaus sur le traité (1675 ou 76).
Lettre de Leibniz à Etienne Perrier, neveu de Pascal (1676).

Quelques dates pour situer le bouillonnement de l'époque et le caractère pionnier de Desargues et Pascal.

1623 (juin) Naissance de Pascal.
1639: Mersenne signale à Descartes les recherches de Pascal sur les coniques.
1639: Desargues écrit son Brouillon project des {….coniques….}.
1642, 1648, 1650 : Morts respectives de Galilée, Mersenne, Descartes.
1648: A Brosse écrit la manière universelle de M Désargues pour pratiquer la perspective.
à la fin de 1654, Pascal délaisse les mathématiques.
1662: Mort de Pascal.
1675: Leibniz, né en 1646, lit le Traité.

L’ introduction à la géométrie, tout au moins l’extrait qui nous reste, définit un espace 3D infini, avec des points et des droites. Ensuite il ne traite que du plan, enchaînant avec les propriétés « naturelles » du cercle. Puis les propriétés d’intersection de 2 droites ou d’un cercle et d’une droite. C’est une introduction essentiellement eucliidenne, l’aspect projectif n’est pas très puissant.

L’ essai pour les coniques débute par une définition parfaitement projective, celle de droites de même ordonnance (même faisceau), concept de Désargues qui unifie deux choses autrefois différentes, les droites qui sont soit concourantes, soit parallèles. Puis il continue avec la notion de section du cône, et surtout 2 lemmes. Concernant ce que nous appelons aujourd'hui le théorème de Pascal, ce dernier le présente comme un petit lemme de son essai pour les coniques.

Alors que nous disons que X, Y, Z sont alignés, il dit, pour reprendre les noms de points de notre figure, que les 3 droites P1P2, P4P5 et YX sont de même ordonnance, c'est-à-dire appartiennent à un même faisceau, sans d'ailleurs donner de nom au point Z, centre du faisceau. Ce petit lemme est énoncé d'abord pour le cercle (lemme1), Pascal passe à la conique en général en faisant une projection dans l'espace (lemme2), c'est là l'aspect projectif de son hexagramme. Ces lemmes serviront à Pascal à démontrer dans la suite de l’essai certains théorèmes métriques concernant des longueurs de segments sur les sécantes, les diamètres, des théorèmes de divisions harmoniques. Il annonce ensuite sans les citer diverses constructions : mener d’un point donné une tangente à une conique, trouver deux diamètres conjugués faisant un angle donné, etc et des théorèmes plus complexes à vérifier.

La génération des sections coniques définit le cône de base circulaire, les génératrices, remarque que 3 génératrices ne peuvent pas être coplanaires, distingue les 3 espèces de coniques selon le parallélisme du plan avec une ou plusieurs génératrices, prend en compte les points à l’infini, définit l’asymptote, la considère comme une tangente à l’infini. Ce texte, bien que fondé sur une notion euclidienne, le cercle, et sur une notion affine, le parallélisme, ne parle pratiquement que de propriétés projectives.

Le traité des coniques, perdu, nous est connu par les commentaires qu’il a suscités chez Leibniz, les notes de Leibniz et Tschirnhaus sur le traité et la lettre de Leibniz à Etienne Perrier. L’ouvrage de Pascal était organisé ainsi : projection d’un cercle sur un plan, hexagramme mystique (ce sont les termes mêmes de Pascal rapportés par Leibniz), les 4 tangentes à une conique et les propriétés harmoniques et diamètrales, proportions des segments tangents et sécants, points de contact, tangentes, etc. Ce que dit Leibniz sur l’hexagramme mystique nous indique que Pascal avait une vue claire du fait que l’on pouvait traiter ce polygone en termes de parcours en 6 points ou bien en 6 droites, les droites qui se coupent en un des 3 points alignés sont appelées ‘’opposées’’, la droite d’alignement est appelée ‘’directrice’’. La permutation de l’ordre de parcours des 6 points n’est jamais abordée. Concernant les sécantes issues d’un point, la propriété de division harmonique est bien présente, la polaire est connue sans être nommée. Suivent quelques considérations sur l’hyperbole qui ne nous apportent pas grand-chose. Liebniz ne donne pas plus de détails sur le Traité. On peut au moins en conclure que Pascal parlait souvent en termes projectifs mais s’intéressait surtout aux propriétés affines et métriques.

nota: ce que Pascal nomme Des quatre tangentes et des droites reliant les points de contact d'où proviennent les propriétés des droites coupées en proportion harmonique et des diamètres correspond probablement au théorème selon lequel le quadrilatère complet des 4 tangentes engendre 6 sommets qui sont situés sur les 3 diagonales du quadrangle complet des points de contact, quadrangle complet qui permet aussi de caractériser divers faisceaux harmoniques.

[modifier] Plan projectif arguésien et absence des coniques.

Dans un PP arguésien il n'existe pas de coniques, ou pour être plus précis il n'existe pas d'hexagramme pascalien complètement permutable. Ce qui est possible dans un PP arguésien est de définir un couple, Couple (mathématiques) d'ensembles de n points, être composite que l'on appellera "bi-ensemble" ou "bi-n-points" ou "préconique" parce qu'il préfigure une conique.

[modifier] Être mathématique qui préfigure la conique dans un plan projectif arguésien.

[modifier] Opérations sur les triplets de points

On travaille sur l'ensemble des triplets ordonnés de points du plan arguésien. Diverses lois de composition interne (voir Loi de composition interne) peuvent être envisagées, que l'on pourrait surnommer « produit arguésien » et « produit pappusien ».

Un triplet ordonné de points peut être écrit sous forme horizontale ou sous forme « verticale ». : $u = (x_u , y_u , z_u ) = \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix}$

Le produit « hexagrammique » de 2 tripoints, noté $\otimes$ se définit par l'intersection des côtés opposés de l'hexagramme, soit

$u \otimes v = \begin{pmatrix}x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_u-z_v *\cap* z_u-y_v \\ z_u-x_v *\cap* x_u-z_v\\ x_u-y_v *\cap* y_u-x_v\end{pmatrix}$

Le produit « arguésien » de 2 tripoints, noté $\lor$ se définit par l'intersection des côtés homologues de 2 triangles, soit

$u \lor v = \begin{pmatrix}x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix} \lor \begin{pmatrix}x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_u-z_u *\cap* y_v-z_v \\ z_u-x_u *\cap* z_v-x_v \\ x_u-y_u *\cap* x_v-y_v\end{pmatrix}$

bien entendu dans chaque cas, ce qui nous intéressera est de savoir si le tripoint obtenu est aligné ou pas.

[modifier] Permutation de signature impaire

A présent en partant d'un hexagramme ordonné Pascalien (1 2 3 4 5 6 1) nous allons permuter l'ordre de parcours et voir ce qui se passe. Les permutations les plus simples sont celles qui ne substituent que 2 points d'un seul tripoint et qui par conséquent sont de signature impaire sur ce tripoint.

Si on échange les points 2 et 4 dans $\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ on obtient le tripoint $\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Un premier produit est

$\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A \\ B\\ C\end{pmatrix}$

A, B et C étant par hypothèse alignés.

Le produit après cet échange est

$\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}Y \\ Z\\ W\end{pmatrix}$ , et l'axiome de Désargues permet de démontrer que Y, Z et W sont alignés, voir figure ci-dessous.

Image:HexagrammeSubstitutionDesargues.PNG

[modifier] Permutation de signature paire

On a précédemment échangé les points 2 et 4 dans $\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ on a obtenu le tripoint $\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ dans lequel on échange les points 2 et 6 pour obtenir le tripoint $\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Au total on a fait 2 substitutions successives dans ce tripoint, d'où la qualification de « paire » de cette permutation. En définitive il s'agit de la permutation circulaire $\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ -> $\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ qui est paire.

Le produit après cet échange est $\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}T \\ U\\ V\end{pmatrix}$ et la figure ci-dessus illustre que les trois points T, U et V sont aussi alignés (en comparant les triangles 2 3 W et 5 6 Z).

En définitive nous avons démontré que les deux tripoints non-ordonnés {1,3,5} {2,4,6}, appelés aussi bi-ensembles-triples, si l'un des hexagrammes est pascalien, engendrent cinq autres hexagrammes pascaliens pourvu que l'on respecte l'alternance des points. Ces 6 permutations sont

1 2 3 4 5 6 1

1 4 3 6 5 2 1

1 6 3 2 5 4 1

1 4 3 2 5 6 1

1 2 3 6 5 4 1

1 6 3 4 5 2 1.

Avec le seul axiome de Désargues on ne peut pas aller plus loin dans les permutations. La frontière entre les 2 ensembles du bi-ensemble est absolument étanche. Par exemple il n'est pas envisageable d'échanger les points 3 et 4 c'est à dire de passer du produit $\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ au produit $\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}.$

[modifier] Pré-conique arguésienne

Après avoir étudié les propriétés d'hexagramme du couple des deux tripoints non-ordonnés {1,3,5} {2,4,6}, nous pouvons étendre la chose au couple de 2 ensembles plus abondants, par exemple { {1,3,5, 7, 9} ;{2,4,6, 8, 10, 12} }.

On peut commencer modestement par l'étude de { {1,3,5, 7} ;{2,4,6} }. Avec quelques démonstrations utilisant seulement l'axiome de Désargues on s'apercevra que, à partir d'une amorce faite de 5 points, on peut rajouter des points supplémentaires soit dans l'ensemble de gauche, soit dans celui de droite.