Série de Fourier

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Une série de Fourier est une série de fonctions sinusoïdales obtenue en analysant le « spectre en fréquences » d'une fonction périodique déterminée. Idéalement, on devrait pouvoir reconstruire la fonction périodique initiale comme somme de sa série de Fourier. Ce n'est pas toujours rigoureusement le cas, mais on a de nombreux résultats positifs dans ce sens.

L'idée de décomposition en série trigonométrique apparut sans doute avec l'étude des cordes vibrantes par Daniel Bernoulli. Le trait de génie de Joseph Fourier fut de considérer cette décomposition comme un outil systématique. Il en fit usage en 1822 pour résoudre l'équation de la chaleur dans son ouvrage Théorie analytique de la chaleur.

Les séries de Fourier constituent la branche la plus ancienne de l'analyse harmonique, mais n'en demeurent pas moins un domaine vivant, aux nombreuses questions ouvertes. L'étude de leurs particularités est allée de pair, pendant tout le XIX^e siècle, avec les progrès de la théorie de l'intégration.

Sommaire

1 Spectre en fréquences
2 Deux formules de décomposition d'usage très courant
3 Étude en moyenne quadratique
4 Autres propriétés de convergence simple et uniforme
5 Extension du concept de série de Fourier
- 5.1 Extension à l'espace L1
- 5.2 Extension aux distributions
6 Généralisations
7 Voir aussi
8 Références
9 Liens externes

[modifier] Spectre en fréquences

[modifier] Définitions générales

On analyse une fonction périodique continue par morceaux, à valeurs réelles ou complexes, de période T, de fréquence F, appelée fréquence fondamentale ou fréquence du fondamental.

Les coefficients de Fourier complexes de f (pour $n \in \Z$ ) sont donnés par :

$c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cdot e^{-i \frac{2n\pi}{T}\,t} dt$ .

Si n>0, on appelle harmonique de rang n de la fonction f la fonction sinusoïdale de fréquence nF obtenue en tenant compte des coefficients de Fourier d'indice n et -n. C'est la fonction $c_n e^{i\frac{2n\pi}{T}x} + c_{-n}e^{-i\frac{2n\pi}{T}x}$ .

Pour n=0, le coefficient $c 0$ n'est autre que la valeur moyenne de f.

La série de Fourier de f est la série de fonctions obtenue en sommant les harmoniques successifs.

[modifier] Conventions usuelles pour les fonctions à valeurs réelles

Pour une fonction f réelle et périodique on posera plutôt :

$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cdot dt=c_0$ ;

et pour n>0 cette fois :

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left ( nt\frac{2\pi}{T} \right ) \cdot dt$ ,

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left ( nt\frac{2\pi}{T} \right ) \cdot dt$ .

L'harmonique de rang n se réécrit alors comme la fonction

$a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )=\chi _n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} + \Phi _n \right )$ .

(

χ n

Φ n

se déduisent des

a n

b n

)

Attention certains auteurs préfèrent écrire : $a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cdot dt$ , ce qui ne s'interprète plus alors comme une valeur moyenne, mais en est le double. Cette dernière convention harmonise les définitions des coefficients qui commencent alors tous par $2 / T$ .

[modifier] Propriétés des coefficients de Fourier de f

Certaines propriétés se traduisent sur les coefficients de Fourier

ainsi si f est une fonction paire, on a c_-n=c_n pour tout n.

Si en outre f est réelle, on obtient b_n = 0 pour tout n.

si f est une fonction impaire, on a c_-n=-c_n pour tout n

Dans le cas réel cela donne a_n = 0 pour tout n.

Ces propriétés sont en fait des équivalences : on peut lire la parité de la fonction sur son spectre en fréquences.

Plus généralement, si deux fonctions continues ont la même analyse en fréquences (mêmes coefficients de Fourier), elles sont identiques. Dans le cas continu par morceaux, elles coïncident en tous les points sauf un nombre fini.

Par exemple si une fonction continue a tous ses coefficients de Fourier nuls sauf un nombre fini, c'est en fait un polynôme trigonométrique.

[modifier] Comportement des coefficients de Fourier de f à l'infini

Les coefficients de Fourier de f tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini : c'est le théorème de Riemann-Lebesgue. L'identité de Parseval ci-dessous montre qu'en fait on peut préciser plus : la série des carrés des modules des coefficients de Fourier converge.

Plus la fonction est régulière, plus le rythme de décroissance des coefficients de Fourier est élevé. Par exemple pour une fonction continue et $\mathcal C^1$ par morceaux, on établit, par intégration par parties, $c_n(f\, ')=2i \pi n c_n(f)/T$ . Combiné avec la propriété précédente, cela prouve que la suite $c n (f)$ tend vers 0 plus vite que la suite 1/n.

Plus généralement, pour une fonction de classe $\mathcal C^{k}$ et $\mathcal C^{k+1}$ par morceaux, on établit $c n (f (k + 1)) = (2 i π n / T) k + 1 c n (f)$ . Et du coup la suite $c n (f)$ tend vers 0 plus vite que la suite $1 / n k$ .

[modifier] Deux formules de décomposition d'usage très courant

[modifier] Théorème de convergence ponctuelle (de Dirichlet)

Un signal en dents de scie

Les cinq premières sommes partielles de sa série de Fourier

Sous des hypothèses de régularité convenables, la fonction peut effectivement se décomposer comme superposition de fonctions sinusoïdales.

Précisément une fonction périodique f de période T, continue et dérivable par morceaux est, en chaque point, somme de sa série de Fourier :

$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \cdot e^{i nx\frac{2\pi}{T}}$ .

Pour les fonctions à valeurs réelles, on peut écrire cela avec les conventions adaptées :

$f(x) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )\right )$ ,

ou encore si $a 0$ est le double d'une valeur moyenne :

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )$ .

Si la fonction f n'est pas continue, le théorème tient encore, à ceci près que la série de Fourier converge vers la régularisée de f, c'est-à-dire la fonction obtenue en faisant la demi-somme des limites à droite et à gauche en chaque point.

La démonstration du théorème se base sur le fait que la série de Fourier se calcule par produit de convolution avec un polynôme trigonométrique aux propriétés remarquables : le noyau de Dirichlet. En 1829, Dirichlet établit une première version de cette démonstration, qui fut complétée par Jordan en 1881 pour aboutir au théorème actuel (avec en fait une hypothèse plus faible encore : "localement à variations bornées" au lieu de "dérivable par morceaux").

[modifier] Identité de Parseval

Avec les notations complexes la série suivante converge, et on a la formule

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt = \|f\|^2$ .

Cette formule et ses variantes sont décrites plus complètement dans l'article égalité de Parseval.

Pour prouver cette relation, il faut établir un résultat de convergence en moyenne quadratique pour la série de Fourier.

[modifier] Exemples d'applications

De l'application des théorèmes de Dirichlet et de Parseval on tire la valeur d'un certain nombre de séries numériques.

Par exemple avec f périodique de période 2π, valant $f(x) = x^2 \;$ si $-\pi \le x \le \pi$ , alors par le théorème de Dirichlet, on peut écrire pour tout x :

$x^2 = \frac{\pi^2}{3} - 4\cos x + \frac{4}{2^2}\cos 2x + \cdots + (-1)^n\frac{4}{n^2}\cos nx + \cdots$ .

Dans cette identité, si l'on fait x = π, on retrouve la célèbre formule démontrée par Euler :

$\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ ,

pour x=π/2 on a également un résultat remarquable :

$\frac{\pi^2}{12} = 1 - \frac{1}{2^2} + \cdots + (-1)^{n+1}\frac{1}{n^2} + \cdots= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ .

Par ailleurs la formule de Parseval donne $\frac{\pi^4}{90} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$

En prenant d'autres fonctions, telles que :

le signal carré périodique : $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si } 0 < x < \pi \\ -1, & \mbox{si } -\pi < x < 0 \end{matrix}\right.$ ,

le signal triangulaire périodique : $f(x) = \left| x \right|$ si $-\pi \le x \le \pi$ ,

etc.

on retrouve d'autres formules similaires, telles que :

$\frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots + \frac{1}{(2n+1)^2} + \cdots$ ,

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^n}{2n+1} + \cdots$ (formule de Leibniz),

la valeur de la série numérique $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2p}}$ , c'est-à-dire la valeur de la fonction Zeta de Riemann pour les entiers pairs,

etc.

[modifier] Étude en moyenne quadratique

[modifier] Le produit scalaire

L'espace des fonctions continues périodiques de période T peut être muni d'un produit scalaire et de la norme associée. Dans le cas de fonctions à valeurs réelles ceux-ci s'écrivent

$(f\cdot g)= \frac1T\int_{-T/2}^{T/2} f(t)g(t) dt$ et $||f|| = \sqrt{(f\cdot f)}$

Pour des fonctions à valeurs complexes, il y a encore une notion de produit scalaire et de norme, avec par définition

$(f\cdot g)= \frac1T\int_{-T/2}^{T/2} \overline{f(t)}g(t) dt$ et $||f|| = \sqrt{(f\cdot f)}$

La norme ainsi définie est appelée norme de la convergence en moyenne quadratique. On la note parfois $| | . | | 2$ , s'il y a un risque de confusion avec d'autres normes.

[modifier] Interprétation des séries de Fourier en termes de projection orthogonale

On va faire intervenir la fonction exponentielle complexe d'indice n

$e_k : x\mapsto e^{ik\frac{2\pi}{T}x}$ .

La première propriété remarquable est que la famille des $(e n)$ , pour n entier relatif, est orthonormale. On en déduit notamment que c'est une famille libre.

On considère les espaces successifs engendrés : l'espace vectoriel des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n est

$\mathcal T_n = Vect(e_{-n},\dots, e_0, \dots, e_n)$ .

On reconnaît dans le terme d'ordre n de la série de Fourier de f l'expression

$S_n (x)= \sum_{k = -n}^{n} c_k \cdot e^{i kx\frac{2\pi}{T}}= \sum_{k = -n}^{n} (e_k\cdot f) \cdot e_k(x)$

qui n'est autre que la formule donnant la projection orthogonale de f sur l'espace vectoriel de dimension finie $\mathcal T_n$ .

Les conséquences de cette interprétation sont les suivantes

une propriété d'orthogonalité. La fonction f se décompose en deux termes : $S n$ qui est un polynôme trigonométrique de degré inférieur à n, et $f - S n$ qui est orthogonal à tous les polynômes trigonométriques de degré inférieur à n. Cette décomposition est unique, c'est donc une autre façon de définir $S n$ ,
une propriété de minimisation. Parmi tous les polynômes trigonométriques de degré inférieur à n, c'est $S n$ qui est le plus proche de f (pour la norme ||.||). Il peut de nouveau être défini ainsi

$\forall T\in \mathcal T_n, \|f-S_n\|\leq \|f-T\|$ avec égalité uniquement pour

T = S n

[modifier] Convergence en moyenne quadratique

La série de Fourier d'une fonction continue de période T converge vers f en moyenne quadratique, c'est-à-dire relativement à la norme ||.||.

Une conséquence est que la norme de la série de Fourier converge vers la norme de f : c'est la fameuse identité de Parseval.

Ces deux résultats restent vrais pour des fonctions seulement continues par morceaux (même si alors, ||.|| n'est pas à proprement parler une norme, mais une pseudo-norme).

[modifier] Un cadre adapté : l'espace $L 2$

Le résultat de convergence en moyenne quadratique, l'identité de Parseval restent valables dans un cadre plus général et mieux adapté : l'espace $L 2$ des fonctions de carré sommable, identifiées quand elles sont égales presque partout.

C'est un premier exemple d'espace hilbertien muni d'une base de Hilbert.

[modifier] Autres propriétés de convergence simple et uniforme

[modifier] Convergence simple

Il fallut attendre un bon demi-siècle avant de pouvoir répondre à cette simple question "une fonction continue est-elle bien somme en chaque point de sa série de Fourier" ? La réponse, traumatisante pour les mathématiciens du temps fut donnée en 1873 par Du Bois-Reymond, avec le premier exemple de fonction continue périodique dont la série de Fourier diverge en un point.

Il s'écoula encore un siècle avant que soit connue l'étendue des possibilités de divergence :

En 1966, Kahane et Katznelson montrent que pour tout ensemble de mesure de Lebesgue nulle, on peut trouver une fonction continue dont la série de Fourier diverge en tout point de cet ensemble.
La même année, Carleson établit que la série de Fourier d'une fonction continue converge presque partout.

[modifier] Phénomène de Gibbs

Pour l'illustrer, voici la représentation des termes d'ordre 10,50,250 obtenus en faisant l'analyse spectrale de la fonction "créneau".

Phénomène de Gibbs
Approximation du créneau à l'ordre 10	Approximation du créneau à l'ordre 50	Approximation du créneau à l'ordre 250

Le polynôme trigonométrique n-ème terme de la série de Fourier, $S n$ , est une fonction continue, il est donc normal qu'il ne puisse approcher uniformément la fonction créneau qui, elle, ne l'est pas. Sur une des zones de "plateau", loin de la discontinuité, cependant, la situation est bonne, et la série de Fourier approche bien la fonction (elle en est indiscernable sur le dernier graphique).

Au niveau du point de discontinuité, $S n$ subit une forte oscillation, une sorte de "sursaut". Les images laissent soupçonner et le calcul montre effectivement que l'amplitude de ce sursaut tend vers une constante. Précisément si la fonction a une discontinuité d'amplitude $Δ y$ , alors $S n$ , tout en restant continue, connaîtra un "saut" en ordonnée valant de l'ordre de 18% de plus.

Note : un phénomène analogue peut être analysé lorsqu'on étudie les polynômes d'interpolation de Lagrange lorsque le nombre de points d'interpolation tend vers l'infini : c'est le phénomène de Runge.

[modifier] Théorème de convergence normale

On se met à l'abri de toutes les pathologies précédentes (phénomène de Gibbs et divergence de la série de Fourier) si on prend des hypothèses convenables de régularité pour f.

Si f est périodique, continue et $\mathcal C^1$ par morceaux, alors la série de Fourier converge uniformément (et même : converge normalement) vers f.

[modifier] Théorème de convergence uniforme de Fejér

Pour une fonction continue et périodique, on effectue les moyennes successives des termes de la série de Fourier : si on note :

$S_n = \sum_{k = -n}^{n} c_k \cdot e^{i kx\frac{2\pi}{T}}$ puis $\sigma_N = \frac1N\sum_{k = 0}^{N-1} S_N= \sum_{k = -N+1}^{N-1} \frac {N-k}{N} c_k \cdot e^{i kx\frac{2\pi}{T}}$ ,

alors la suite des fonctions $σ N$ converge uniformément vers f. Il faut noter qu'on a affaire ici à une suite de polynômes trigonométriques, et non à une série trigonométrique : le coefficient devant chaque fonction exponentielle complexe est modifié à chaque étape.

Ce théorème de Fejér constitue une démonstration possible de la version trigonométrique du théorème de Stone-Weierstrass. Il se démontre en utilisant les propriétés d'un polynôme trigonométrique particulier : le noyau de Fejér.

Associer à $S n$ la suite $σ N$ constitue un procédé de sommation classique, dit de Cesàro. Une leçon générale qu'il faut tirer de ce théorème est que pour avoir de bonnes propriétés de convergence des séries de Fourier, il faut envisager de nouveaux procédés de sommation.

[modifier] Extension du concept de série de Fourier

[modifier] Extension à l'espace $L 1$

Il est naturel de calculer les coefficients de Fourier d'une fonction intégrable, et même de raisonner en identifiant les fonctions égales presque partout, puisqu'elles ont les mêmes coefficients de Fourier. On travaille donc sur l'espace $L 1$ .

Le théorème de Riemann-Lebesgue s'étend à cet espace : les coefficients de Fourier d'une fonction f intégrable tendent vers 0 en l'infini.

Les propriétés de convergence simple sont plus complexes

un résultat de Kolmogorov en 1926 assure qu'il existe une fonction intégrable dont la série de Fourier diverge en tout point,

en revanche le théorème de Lennart Carleson cité plus haut s'étend aux fonctions $L 2$ et même $L p$ pour p>1 (cette dernière extension est de Hunt, en 1967). Pour de telles fonctions, la série de Fourier de f converge presque partout.

[modifier] Extension aux distributions

Soit T un réel strictement positif, et t_T l'opérateur de translation de T sur les distributions. Une distribution D est dite périodique lorsque t_TD=D.

Pour une distribution périodique D, on peut se donner une information analogue à la valeur sur une période. Il existe en effet une distribution d à support compact telle que

$D=\sum_{k\in \mathbb{Z}} t_{kT}d$ .

Les coefficients de Fourier de D sont alors définis comme

$c_p(D)=\frac1T < d , e^{-i\frac{2p\pi}{T}t}>$

les coefficients de Fourier sont « à croissance lente », c'est-à-dire dominés par une expression polynomiale.
la série de Fourier converge vers D au sens des distributions

Réciproquement, si on considère une suite à croissance lente, la série trigonométrique correspondante converge au sens des distributions vers une distribution périodique.

Pour un exemple, présenté de manière élémentaire, voir Peigne de Dirac.

[modifier] Généralisations

On peut généraliser le concept de série de Fourier à l'aide des espaces de Hilbert ; ici l'espace de Hilbert est l'ensemble des fonctions continues périodiques réelles de période T donnée, la base de Hilbert est formée par les fonctions trigonométriques intervenant dans la décomposition, et les coordonnées sont donnés par les coefficients de Fourier.

La décomposition en séries de Fourier est également généralisée aux fonctions non périodiques avec la théorie de la transformée de Fourier et la notion de densité spectrale. Pour une présentation élémentaire, voir Analyse spectrale.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes, Éditions Cassini

[modifier] Liens externes

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