Égalité de Parseval

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L'égalité de Parseval (parfois appelée également Théorème de Parseval ou Identité de Rayleigh) est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier.

Pour le mathématicien, cette formule généralise le théorème de Pythagore et peut être étendue au cadre plus général des bases hilbertiennes.

Dans de nombreuses applications physiques, cette formule peut s'interpréter comme : l'énergie totale s'obtient en sommant les contributions des différents harmoniques.

[modifier] Formule pour les séries de Fourier

On suppose que f est T-périodique et de carré intégrable (c'est donc valable notamment pour f continue par morceaux).

On note comme dans l'article série de Fourier

$c_n=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-in \frac{2\pi}T t} dt$

Alors la série suivante converge et on a la formule

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt = \|f\|^2$

Si la fonction f est à valeurs réelles on peut adopter des conventions adaptées

$a_0=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2} f(t)dt=c_0$

$a_n=\frac2T\int_{-T/2}^{T/2} f(t) cos (n \frac{2\pi}T t) dt$

$b_n=\frac2T\int_{-T/2}^{T/2} f(t) sin(n \frac{2\pi}T t) dt$

La formule devient $\|f\|^2 = a_0^2 +\frac12 \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)$

Attention : certains auteurs préfèrent une convention pour laquelle l'expression de $a 0$ est aussi en 2/T

$a_0=\frac2T\int_{-T/2}^{T/2} f(t)dt$

Mais la formule de Parseval devient alors

$\|f\|^2 = \frac14 a_0^2 +\frac12 \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)$

[modifier] Applications

Si deux fonctions f et g ont le même spectre en fréquences (mêmes coefficients de Fourier), alors $| | f - g | | = 0$ , c'est à dire que f et g sont égales presque partout.
L'égalité de Parseval est un moyen de calculer un certain nombre de séries numériques (on peut aussi utiliser l'égalité en un point entre la fonction et sa série de Fourier). Sur des exemples concrets, l'intégrale est en effet souvent plus facile à calculer que la série.
L'égalité de Parseval permet d'obtenir l'inégalité de Wirtinger entre les normes d'une fonction périodique et de sa dérivée, puis l'inégalité isopérimétrique.

[modifier] Réciproque : théorème de Riesz-Fischer

On note $\ell^2$ l'espace vectoriel des suites $c n$ (n entier relatif), telle que la série de terme général $| c n | 2$ converge.

Le théorème de Riesz-Fischer permet d'énoncer qu'une telle suite $c n$ est la suite des coefficients de Fourier d'une fonction de carré intégrable, T périodique.

Ainsi il y a isomorphisme entre les espaces $L^2_T$ des fonctions de carré intégrable et T périodiques et $\ell^2$ . La formule de Parseval montre qu'il s'agit même d'une isométrie.