Peigne de Dirac
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Vous avez de Dans les problèmes d'échantillonnage, remplacement d'une fonction continue par une suite de valeurs de la fonction séparées par un pas de temps T, il est commode d'introduire une somme de fonctions de Dirac espacées de T : cela définit un peigne de Dirac.
Nous lui donnerons une intensité égale au pas de temps :
Au delà de son étrangeté, cette fonction est certainement périodique avec une période T, on peut donc calculer ses coefficients de Fourier :
Dans ces conditions, la série s'écrit
En oubliant toute rigueur, on peut constater que les termes complexes de la série sont représentés dans le plan complexe par des vecteurs unités en rotation. Si t est un multiple de la période T, on obtient une somme d'une infinité de termes égaux à un ; sinon les vecteurs tournent indéfiniment autour du zéro en donnant une somme nulle.
La propriété fondamentale de la fonction de Dirac
conduit à la propriété fondamentale du peigne
Le calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles est équivalent au calcul de l'intégrale de la fonction multipliée par un peigne de Dirac.
