Carré sommable

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On dit qu'une fonction f(x) complexe qui prend l'argument réel x est de carré sommable lorsque la quantité

est un nombre fini.

C'est une propriété que l'on retrouve chez certaines fonctions, notamment la fonction de Dirac et les fonctions gaussiennes, et qui implique l'existence d'un maximum principal, sans donner d'informations sur la présence éventuelle de maximum secondaires.

C'est un point très important en physique quantique également : si on considère une fonction d'onde associée à une particule, alors, d'après l'équation de Schrödinger, la quantité S énoncée ci dessus représente la densité de probabilité de trouver la particule dans tout l'espace, un tel nombre doit être compris entre 0 et 1. Toute fonction d'onde est donc de carré sommable.

Propriétés générales (non exhaustives) :

• Le produit d'une fonction de carré sommable et de toute autre fonction est de carré sommable ;
• La somme, la différence et le produit de deux fonctions de carré sommable est encore de carré sommable ;
• Toute fonction constante n'est pas de carré sommable, à l'exception de la fonction nulle ;
• Toute fonction strictement monotone n'est pas de carré sommable ;