Représentation d'état

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En automatique, une représentation d'état permet de modéliser un système dynamique sous forme matricielle en utilisant des variables d'état. On se place alors dans un espace d'état. Cette représentation, qui peut être linéaire ou non-linéaire, doit rendre compte de l'état du système à n'importe quel instant futur si l'on possède les valeurs initiales. Cette représentation peut être continue ou discrète.

Sommaire

1 Variables d'état
2 Systèmes linéaires
3 Systèmes non linéaires
- 3.1 Exemple du pendule
4 Voir aussi

[modifier] Variables d'état

Un système peut être entièrement décrit à l'aide d'un ensemble de variables minimal. Les variables d'état sont des grandeurs physiques continues du système (elles doivent être dérivables) et doivent être indépendantes les unes des autres. Elles sont généralement rassemblée dans un vecteur X. La connaissance de toutes les variables d'état à un instant t doit permettre de connaître toutes les valeurs du système à un instant t+dt. Attention, cette représentation n'est pas unique, un même système peut être décrit avec des variables d'état différentes mais leur nombre est toujours le même. Ce nombre, désigné par la lettre n, représente l'ordre du système.

[modifier] Systèmes linéaires

La représentation d'état la plus générale pour les systèmes linéaires est la suivante en continue:

$\dot X(t) = A(t) \cdot X(t) + B(t) \cdot U(t)$ $Y(t) = C(t) \cdot X(t) + D(t) \cdot U(t)$

$X \in \mathbb{R}^n$ : vecteur qui représente les n variables d'état
$Y \in \mathbb{R}^q$ : vecteur qui représente les q mesures
$U \in \mathbb{R}^p$ : vecteur qui représente les p commandes
$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ : Matrice d'état
$B \in \mathbb{R}^{n\times p}$ : Matrice de commande
$C \in \mathbb{R}^{q\times n}$ : Matrice de sortie
$D \in \mathbb{R}^{q\times p}$ : Matrice de rétroaction

Ceci est le cas le plus général. Les matrices A, B, C, D sont souvent invariantes selon le temps, elles deviennent alors des matrices constantes et on parle de représentation d'état continue indépendante du temps.

Cette représentation d'état se représente sous forme de schéma-bloc :

Les valeurs propres de la matrices d'état A représentent les pôles du système. Si ces pôles sont à partie réelles négatives, alors le système est asymptotiquement stable.

[modifier] Observabilité et Commandabilité

Une représentation d'état continue indépendante du temps est observable si et seulement si :

$rang\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n$

De plus, le système est commandable si et seulement si :

$rang\begin{bmatrix}B& AB& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n$

(le rang d'une matrice est le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants)

Voir: Commandabilité et Observabilité

[modifier] Passage Représentation d'état-Fonction de transfert

Une représentation d'état linéaire continue indépendante du temps peut être transformée en fonction de transfert. Chacune de ces deux représentations dynamiques contient les mêmes informations sur le système. Soit la représentation d'état suivante :

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$

Après un passage en transformée de Laplace :

$s\mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)$

$(s\mathbf{I} - A)\mathbf{X}(s) = B\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)$

on substitue alors $\mathbf{X}(s)$ dans l'équation de sortie :

$\mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{Y}(s) = C((s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)) + D\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{G}(s)\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{G}(s)$ représente la fonction de transfert finale :

$\mathbf{G}(s) = C(s\mathbf{I} - A)^{-1}B + D$

La fonction de transfert $\mathbf{G}(s)$ doit avoir une dimension $q \times p$ , et ainsi un total de qp éléments. On obtient donc $n$ fonctions de transfert différentes, une pour chaque sortie. On comprend aisément que la représentation d'état est plus simple à représenter lorsqu'il y a plusieurs sorties.

[modifier] Représentation discrète

Pour passer d'un espace continu à un espace discret de période d'échantillonnage $Δ$ il suffit de faire une approximation de la dérivée. Il existe plusieurs méthodes dont l'approximation de Padé. En général, on utilise toujours $\dot X = \frac{X_{k+1}-X_k}{\Delta}$ . On représente le système de la manière suivante (l'indice k représente l'échantillonnage) :

$X_{k+1} = A_k \cdot X_k + B_k \cdot U_k$ $Y_{k} = C_k \cdot X_k + D_k \cdot U_k$

Pour qu'un système reste observable et commandable par discrétisation, il faut que les valeurs propres $λ i$ de la matrice d'état A du système continue vérifie la condition :

$Re(\lambda _i)=Re(\lambda _j) \Rightarrow Im(\lambda _i - \lambda _j) \ne \frac{2k \pi}{\Delta}$

Les valeurs propres de la matrices d'état A représentent les pôles du système. Si ces pôles possèdent un module inférieur à 1, alors le système est asymptotiquement stable.

[modifier] Systèmes non linéaires

La forme la plus générale d'une représentation d'état est composée de deux fonctions:

$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, x(t), u(t))$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, x(t), u(t))$

La première équation représente l'équation d'état et la seconde l'équation de sortie. La représentation d'état linéaire décrite préalablement est un cas particulier de cette forme si les fonctions f et h sont linéaires (on représente alors les fonctions sous forme matricielle).

[modifier] Exemple du pendule

L'exemple classique de système non linéaire est un pendule libre (il n'y a pas d'entrées, le pendule est livré à lui-même). L'équation différentielle régissant le pendule est la suivante :

$ml\ddot\theta(t)= -mg\sin\theta(t) - kl\dot\theta(t)$

où:

$θ(t)$ est l'angle du pendule
$m$ est la masse du pendule (la masse de la tige est négligée)
$g$ est l'accélération gravitationnelle
$k$ est le coefficient de frottement au point de pivot
$l$ est le rayon du pendule (jusqu'au centre de gravité de la masse $m$ )

Les équations d'état sont:

$\dot{x_1}(t) = x_2(t)$

$\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)$

où:

$x 1 (t) = θ(t)$ est l'angle du pendule
$x_2(t) =\dot{x_1}(t)$ est la vitesse angulaire du pendule
$\dot{x_2} =\ddot{x_1}$ est l'accélération angulaire du pendule

L'équation d'état peut être écrite ainsi:

$\dot{x}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrix} \right) = \mathbf{f}(t, x(t)) = \left( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t) \end{matrix} \right)$

Les points d'équilibre stationnaires d'un système sont définis par les points où $\dot{x} = 0$ . Dans ce cas, les points qui satisfont ce critère pour le pendule sont :