Pendule de Foucault

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pendule de Foucault au Panthéon de Paris

pendule de Foucault au Musée des arts et métiers (Paris)

Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen ainsi que l'existence de la force de Coriolis dans un référentiel non galiléen. La première démonstration date de 1851, le pendule étant attaché au plafond du Panthéon de Paris. L'originalité du pendule repose sur le fait que la rotation de la Terre est ainsi mise en évidence par une expérience locale, à l'intérieur d'une pièce fermée, et qu'on peut également déterminer la latitude du lieu de l'expérience sans aucune observation astronomique extérieure.

Si l'on considère le repère centré au niveau du point de fixation du pendule (le toit du Panthéon par exemple), le pendule oscille toujours dans le même plan (par rapport à ce point) ; en revanche la Terre tourne sous lui (ce qui est prévu par les lois de Newton, et assez intuitif si l'on s'imagine au pôle). Dans un repère plus habituel, celui de la Terre, c'est donc le pendule qui va subir une rotation...

Le pendule doit être idéalement placé sur un pôle de la Terre (il ne fonctionne pas à l'équateur). Sa période dépend du sinus de la latitude. Par exemple :

un jour sidéral au niveau des pôles
1,4 jour à 45° de latitude
2 jours à 30°

[modifier] Mise en équation

Pour simplifier, nous supposerons l'amplitude des oscillations suffisamment faibles pour admettre que la masse oscillante du pendule se déplace horizontalement. Notons Oxy ce plan horizontal, avec O position de la masse au repos, Ox axe horizontal dirigé vers l'est (et donc tangent au parallèle), et Oy dirigé vers le nord (et donc tangent au méridien). Le troisième axe Oz sera vertical, dirigé vers le haut.

[modifier] Cas du pendule simple

Sans tenir compte de la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, les équations du mouvement sont celles du pendule simple, à savoir : $\left \{ \begin{matrix} x'' = - \omega^2 x\\ y''= - \omega^2 y \end{matrix} \right.$ où ω est la pulsation propre du pendule simple, soit : $\omega = \sqrt{g/l}$ où g est l'accélération de la pesanteur et l la longueur du pendule. A titre d'exemple, si à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V₀ selon l'axe Ox, alors, la solution à ce système est :

$\left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t) \\ y = &0 \end{matrix} \right.$

[modifier] Cas du pendule de Foucault

Animation du pendule de Foucault

Avec la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, il faut tenir compte de l'accélération de Coriolis $2 \Omega (\vec{v} \times \vec{k})$ où $\vec{v}$ est la vitesse du pendule, $\vec{k}$ est le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.

Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur $\Omega \vec{k}$ a pour composantes dans le repère Oxyz $\begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}$ . $\vec{v}$ a pour composantes $\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 0 \end{pmatrix}$ , de sorte que l'accélération de Coriolis aura pour composantes $\begin{pmatrix} 2y' \Omega \sin{\theta}\\ - 2x' \Omega \sin{\theta} \\ 2x' \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}$ .

Les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent : $\left\{\begin{matrix} x'' = - \omega^2 x + 2y' \Omega\sin{\theta}\\ y'' = - \omega^2 y - 2x' \Omega \sin{\theta}\end{matrix}\right.$ . Si on suppose encore qu'à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V₀ selon l'axe Ox, alors, on pourra vérifier que les solutions x et y du système différentiel sont telles que :

$\left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ y = &- {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{matrix} \right.$

avec $\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}$ . On peut écrire que :

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}$

[modifier] Interprétation et comparaison

La quantité ${V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t)$ exprime le fait que le pendule de Foucault oscille avec une pulsation propre ω₀ très légèrement différente de celle du pendule simple, mais comme Ω est très petit devant ω, la différence entre ω et ω₀ est très faible.

Plus remarquable, l'oscillation se fait selon la direction $\begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}$ qui tourne lentement selon la pulsation $Ωsin(θ)$ .

[modifier] Le pendule revisité : quel système de référence ?

Le pendule de Foucault pose la question de la nature du repère qui sert de référence. En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose. On ne peut pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. Ce cadre est un référentiel galiléen, mais comment ce référentiel est-il défini ? Plaçons le pendule Foucault au pôle. La Terre tourne par rapport à un repère galiléen selon l'axe terrestre avec la pulsation $Ω$ . Le pendule tourne par rapport à la Terre avec une pulsation qui vaut au pôle $- Ω$ , selon la verticale du lieu qui est également l'axe terrestre. Le pendule oscille donc dans un plan fixe par rapport à un repère galiléen.

Dans une première approximation, le plan du pendule est fixe par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en question.

Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus long, par révéler une dérive.

Si l'expérience pouvait être menée suffisamment longtemps en considérant comme référence les objets les plus lointains de l'univers, les galaxies ou quasars situés à des milliards d'années-lumière, on pourrait constater encore une infime dérive du plan d'oscillation.

Finalement, l'ultime recours serait de considérer comme référence le rayonnement de fond de l'univers . Avec ce système de référence, et si l'expérience de Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc qu'en fonction de l'Univers dans son ensemble, que nous pouvons définir un référentiel galiléen par rapport auquel le plan des oscillations est fixe.

Le pendule de Foucault se moque donc de la présence du Soleil ou de la Galaxie. Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers entier. Cette expérience met en évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier et Ernst Mach s'est posé la question de savoir quelle serait la Mécanique dans un Univers vide. Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste inconnue.

[modifier] Effets parasites

La mise en évidence de la rotation terrestre par le pendule de Foucault est une expérience très délicate. Le plan d'oscillation du pendule tourne de quelques degrés par heure (maximum, 15° au Pôle). Plusieurs phénomènes risquent de masquer ce que l'on veut mettre en évidence :

l'amortissement du pendule par le frottement dans l'air. Il est proportionnel à la section du pendule, son poids est proportionnel au volume : on choisira un objet dense et lourd.Il faut une sphéricité parfaite, un cylindre est parfois plus approprié pour de petites amplitudes ; ne surtout jamais utiliser une lentille de franc-comtoise.
l'asymétrie du pendule. Celui-ci doit être parfaitement symétrique pour ne pas partir dans un sens ou dans l'autre. Il ne doit pas non plus pivoter sur lui-même : l'effet Magnus le dévierait de son plan d'oscillation.Néanmoins bien sûr il tourne légèrement sur lui-même, à raison de sa précession ! Il faut aussi veiller au point d'attache.
Il doit être lancé sans composante perpendiculaire au plan d'oscillation. Comme il s'agit d'un pendule sphérique, on doit effectuer la correction d'erreur systématique : Victor Puiseux a montré que si le pendule effectuait une ellipse, celle-ci entraînait un effet de précession proportionnelle à son aire et inversement proportionnelle au carré de la longueur du pendule. $\omega_{puiseux} = {{3 \over 8}.{{a.b} \over {L^2}}.\omega_{pendule}}$ . Il faut utiliser un pendule long et le lancer sans vitesse initiale, au mieux par rapport au laboratoire : la trajectoire sera donc légèrement elliptique, mais toute la manipulation est alors reproductible et on peut corriger les artefacts systématiques.
l'astuce de l'anneau de Fernand Charron est peu connue (cf Bulletin de la SAF de novembre 1931) mais pourtant très efficace : on entretient le mouvement du pendule par un electroaimant très pointu, et le cylindre est lui-même muni d'une pointe qui vient quasiment en contact de celle de l'électroaimant : celui-ci est banalement alimenté par du 9V continu haché de la façon suivante : l'anneau de Charron (C) est placé à quelques décimètres du point d'oscillation O ( pour une longueur de 1,70 m environ): Quand le fil de suspension métallique touche l'anneau très bien centré, le courant passe : il y a force électromagnétique attractive : donc retard vers la montée, mais avance sur la descente, puis rien, puis symétriquement pour l'autre côté. L'astuce est que la self entraîne un retard dans le courant et donc il y a bien gain d'énergie au total. L'amplitude des oscillations (2 degrés environ) est imposée par le bilan énergétique : l'énergie perdue pendant une oscillation, qui croit avec l'amplitude est exactement compensée par l'énergie fournie par l'électroaimant. Certes la période du pendule est composée de deux mouvements : l'un autour de O et l'autre autour de (C)( de rayon très petit, 0,5 mm environ) : on peut le vérifier par la mesure de T (en effectuant évidemment toutes les corrections qui s'imposent (en particulier fil d'acier maintenu en O par un mandrin cylindrique). L'originalité du système n'est pas qu'il entretienne le pendule, MAIS que LE FROTTEMENT SOLIDE du fil sur l'anneau(C) pendant une partie du mouvement, loin de perturber la précession, est au contraire un très subtil moyen pour supprimer l'influence des conditions de lancement de départ qui sont si critiques. Celui du Palais de la Découverte marchait sur ce principe.
Rappelons enfin que la thèse de Heike Kamerlingh Onnes portait sur l'expérience de Foucault et nos collègues hollandais ont bien de la chance d'avoir tous les calculs faits, dans toutes les situations possibles.

-- A améliorer/vérifier...

[modifier] Divers

pendule de Foucault du Franklin Institute de Philadelphie

Le pendule que Foucault a installé au Panthéon en 1851 mesurait 67 mètres et portait une masse de 28 kilogrammes. Une fois lancé, ce pendule oscille pendant 6h. La période (aller-retour) étant de 16,5 s, le pendule déviant de 11° par heure. Depuis 1995, ce pendule est à nouveau au Panthéon.
Du du 7 au 19 mars 2005 : dans le cadre de 2005 : Année Mondiale de la Physique un pendule de Foucault de 25 mètres et d'une masse de 42 kilogrammes a été installé dans la collégiale Sainte-Waudru à Mons.
Du du 26 au 28 mai 2005 :en la cathédrale d'Auch, le pendule faisait 25 m de long pour une masse de 20 kg.
En 2005, un pendule de Foucault a été installé à Bruxelles, au fond de l'avenue de Beaulieu.
Du 1er février au 31 octobre 2006, un pendule de Foucault est installé à Padoue, au palazzo della Ragione.