Polyèdre

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[modifier] Définition

Un polyèdre est un solide délimité par des faces polygonales. Chaque côté de chaque polygone constituant une face coïncide avec un côté d'une autre face et chaque sommet est relié à un autre par une suite d'arêtes dont deux arêtes consécutives sont reliées par un sommet.

[modifier] Convexité, concavité

Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition barycentrique d'un tel polyèdre : Soit $A 1$ , $A 2$ , $\cdots$ , $A n$ , $n$ points non coplanaires ; le polyèdre convexe $A_1A_2{\cdots}A_n$ est l'ensemble des points M barycentres de : $A 1$ , $A 2$ , $\cdots$ , $A n$ affectés de coefficients $α 1$ , $α 2$ , $\cdots$ , $α n$ où chaque $α i$ est positif.

[modifier] Plus petit polyèdre

Un polyèdre possède au moins : 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.

[modifier] Régularité des sommets

Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le 'polygone du sommet' (vertex figure...). Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier.

[modifier] Appellations

La page polygone contient une liste des préfixes grecs utilisés pour nommer les polygones, les polyèdres et les polytopes. Il suffit évidemment de remplacer -gone par -èdre.

[modifier] Polyèdres réguliers

Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles :

les cinq solides de Platon : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre réguliers. Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de groupe.
les quatre polyèdres de Kepler-Poinsot, qui ne sont pas convexes.

Voir l’article Polyèdre régulier.

[modifier] Polyèdres semi-réguliers

Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les solides archimédéens, les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de solides semi-réguliers de la première espèce pour désigner ceux de ces solides qui sont convexes, et de solides uniformes pour le cas général. Les polyèdres de Catalan ne sont pas semi-réguliers, mais ont des faces identiques et des sommets réguliers. On dit parfois de tels polyèdres qu'ils sont semi-réguliers de la seconde espèce.

[modifier] Solides archimédiens

Ils sont au nombre de 13, dont deux sont chiraux. Ce sont les solides semi-réguliers convexes qui possèdent les mêmes symétries que les solides de Platon.

De gauche à droite et de haut en bas :
cube tronqué, octaèdre tronqué, tétraèdre tronqué, icosaèdre tronqué, dodécaèdre tronqué,
cuboctaèdre, snub cube (ou cube adouci, chiral), icosidodécaèdre, snub dodécaèdre (ou dodécaèdre adouci, chiral),
petit rhombicuboctaèdre, grand rhombicuboctaèdre, petit rhombicosidodécaèdre, grand rhombicosidodécaèdre.
Le snub cube et le snub dodécaèdre sont énantiomorphes, c'est à dire qu'ils apparaissent sous deux formes : orientés à gauche ou orientés à droite.

[modifier] Prismes et antiprismes semi-réguliers

Ce sont les solides dont les bases sont des polygones réguliers et dont les autres faces sont des carrés. On peut également construire des antiprismes, dont les faces autres que les bases sont des triangles équilatéraux. Les bases peuvent être des polygones étoilés, formant ainsi des prismes et des antiprismes concaves.

[modifier] Solides uniformes

On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes.

(La terminologie semble être la suivante : les solides semi-réguliers sont convexes, et ne sont donc qu'une partie des solides uniformes.)

[modifier] Polyèdres de Catalan

Ce sont les duaux des solides d'Archimède. Leurs faces sont toutes identiques et leurs sommets tous réguliers.

De gauche à droite et de haut en bas :
triakioctaèdre, tetrakihexaèdre, triakitétraèdre, pentakidodécaèdre, triaki-icosaèdre,
dodécaèdre rhombique, icositétraèdre pentagonal (chiral), triacontraèdre rhombique, hexacontaèdre pentagonal (chiral),
icositétraèdre trapézoïdal, hexakioctaèdre, hexacontaèdre trapézoïdal, hexaki-icosaèdre.

[modifier] Opérations de transformation sur les solides

[modifier] Dualité

Le dual d'un polyèdre, s'obtient en reliant les centres des faces adjacentes.

Voir l’article Dual d'un polyèdre.

[modifier] Troncatures

C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Elle conserve les symétries du solide.

[modifier] Troncature des sommets

Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le cube tronqué, le cuboctaèdre, l'octaèdre tronqué et enfin l'octaèdre. On peut aussi suivre cette série dans l'autre sens.

En partant du dodécaèdre on obtient le dodécaèdre tronqué, l'icosidodécaèdre, l'icosaèdre tronqué, puis l'octaèdre.

Le tétraèdre donne le tétraèdre tronqué.

On peut appliquer cette opération au grand dodécaèdre ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves.

[modifier] Troncature des arêtes

À partir d'un cube, cette opération donne successivement un cuboctaèdre, puis un dodécaèdre rhombique.

À partir d'un dodécaèdre, on obtient l'icosidodécaèdre puis le triacontaèdre rhombique.

[modifier] Stellations

A faire.

[modifier] Facettage

Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires.

[modifier] Relation d'Euler

Soit un polyèdre convexe, on note :

$f$ le nombre de faces de celui-ci,
$a$ le nombre d'arêtes de celui-ci,
$s$ le nombre de sommets de celui-ci,

On peut démontrer qu'on a toujours la relation d'Euler : $f - a + s = 2 \,$

Voir l’article Théorème de Descartes-Euler.

[modifier] Nomenclatures des polyèdres