Rombusz

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Rombusz

A geometriában a rombusz olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő hosszú.

A rombusz szemközti oldalai párhuzamosak, ezért a paralelogramma speciális esete, szomszédos oldalai egyenlő hosszúak, ezért deltoid speciális esete is – így érintőnégyszög. A rombusz átlói egymásra merőlegesek és felezik egymást.

[szerkesztés] Szimmetriatulajdonságok

A rombusz tengelyesen szimmetrikus alakzat, szimmetriatengelyei az átlói. Ezenkívül a középpontja körüli 180°-os elforgatás (azaz a középpont körüli középpontos tükrözés) is saját magába képezi, ezért szimmetriacsoportja négyelemű:

tükrözés az egyik átlóra,
tükrözés a másik átlóra,
forgatás (180°-os a középpont körül),
helybenhagyás (identitás)

Ezek a leképezések nem mást alkotnak mint a $D 2$ diédercsoportot, ami másnéven a Klein-féle csoport. A rombusz tehát ugyanazokkal a szimmetriatulajdonságokkal rendelkezik, mint a téglalap. Szimmetriacsoportja tehát azonos a téglalapéval: a D₂ Klein-csoport és egymás duálisai, egyikük csúcsai a másik oldalainak felel meg. A síkbeli rombusz 5 szabadsági fokkal rendelkezik: egy az alak, egy a nagyság, egy az állásszög és kettő a hely.

A rombuszra vonatkozó képletek
Terület (az átlókkal)	$T \, = \, \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}$
Terület (oldalakkal és szögekkel)	$T \, = \, a^2 \cdot \sin\alpha = a^2 \cdot \sin\beta$
Kerület	$K \, = \, 4 \cdot a$
Átló (egyik)	$e \, = \, 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\beta}{2}$
Átló (másik)	$f \, = \, 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\beta}{2}$
Beírható kör sugara	$\rho \, = \, \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin\alpha$
Oldalhossz	$a\,$
A-nál lévő szög	$\alpha\,$
B-nél lévő szög	$\beta\,$
Átlók	$e = \overline{AC}; \quad f = \overline{BD}$