Abel-csoport

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az Abel-csoport vagy kommutatív csoport az olyan csoportok neve a matematikában, amelyekben a csoportművelet kommutatív.

Az Abel-csoportokat Niels Henrik Abel norvég matematikusról nevezték el.

[szerkesztés] Példák

Minden ciklikus csoport kommutatív, mert bennük a csoportművelet visszavezethető az egész számok fölötti összeadásra: xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.

A valós és komplex számok az össszeadásra nézve, és a nemnulla valós és komplex számok a szorzásra nézve kommutatív csoportot alkotnak.

[szerkesztés] Tulajdonságok

Egy Abel-csoport minden részcsoportja egyben normálosztó is.

Kommutatív csoportok részcsoportjai, faktorcsoportjai és direkt összegei is kommutativak. Ha G és H kommutatív csoport, akkor Hom(G, H), a G-ről H-ra való homomorfizmusok halmaza is kommutatív csoport.

[szerkesztés] Véges Abel-csoportok

A véges Abel-csoportok alaptétele szerint minden véges Abel-csoport egyértelműen felbontható prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt összegére. A tétel általánosítható a végesen generált Abel-csoportokra.

Véges Abel-csoportok minden irreducibilis reprezentációja egydimenziós (azaz a reprezentáció és a karakter ugyanaz). A duális csoport elemei az alakú fügvények lesznek, azaz a duális csoport izomorf az eredeti csoporttal.