Forme différentielle

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En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'une famille d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle avec une certaine régularité.

Sommaire

1 Forme différentielle sur les ouverts de R^n
2 Formes différentielles sur les variétés
3 Forme différentielle généralisée
- 3.1 Définition
- 3.2 Exemples
4 Introduction formelle
5 Propriétés du produit extérieur
6 Définition formelle
7 Intégration des formes
8 Opérations sur les formes
9 Articles connexes
10 Références

[modifier] Forme différentielle sur les ouverts de R^n

[modifier] Applications multilinéaires alternées

Sur un espace vectoriel E de dimension n, une application multilinéaire $\varphi:E^k\rightarrow R$ est dite alternée lorsque, pour toute permutation $σ$ de $[1, r]$ , et pour tous vecteurs $(v_1,\dots,v_r)$ , on a :

$\varphi(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(r)})=\epsilon(\sigma).\varphi(v_1,\dots,v_r)$

forme linéaire ; dimension ; l'exemple du déterminant ; base fondamentale

[modifier] Formes différentielles

[modifier] Naturalité

Théorème ; application au déterminant d'un endomorphisme ; jacobien

[modifier] Opérations algébriques

Somme ; produit extérieur ; exemple

[modifier] Formes différentielles sur les variétés

[modifier] Définition dans les cartes locales

Donnée de recollement ; forme différentielle

[modifier] Définition formelle

Section globales ; définition du fibré vectoriel

[modifier] Opérations algébriques

Somme ; produit extérieur

[modifier] Forme différentielle généralisée

[modifier] Définition

Forme différentielle E-valuée

[modifier] Exemples

Une forme différentielle est un concept mathématique utilisé dans le cadre de l'analyse à plusieurs variables, la topologie différentielle et la théorie des tenseurs. La notation moderne des formes différentielles fut introduite par Élie Cartan qui les définit comme des produits extérieurs de dérivées extérieures qui forment un algèbre extérieure.

[modifier] Introduction formelle

Soit un ouvert dans $R^n~$ . Une 0-forme est une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ f. Lorque l'on intègre f sur un sous-espace vectoriel S de dimension m de $\mathbb R^n~$ , on l'écrit :

$\int_S f\,dx_1 \ldots dx_m.$

Considérons un instant les $dx_1,...,dx_n~$ comme des objets formels plutôt que des variables utilisées pour que les intégrales ressemblent à des sommes de Riemann. Appelons-les des 1-formes basiques de même que leur opposé : $-dx_1,...,-dx_n~$

On peut définir une opération de multiplication ∧ et le produit extérieur sur ces éléments, en n'imposant comme relation que l'anticommutativité :

$dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i$

pour tout i et j. Cela implique :

$dx_i \wedge dx_i = 0$ .

On définit l'ensemble de ces produits comme les 2-formes basiques et de manière similaire, on définit l'ensemble des produits

$dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k$

comme étant les 3-formes basiques, en supposans que n est supérieur à 3. Maintenant, on peut définir une k-forme monomiale qui est une 0-forme multipliée par une k-forme basique pour tout k et finalement, on peut définir une k-forme comme la somme de k-formes monomiales.

Le produit extérieur peut être développé selon ces sommes :

$(f\,dx_I + g\,dx_J)\wedge(p\,dx_K + q\,dx_L) =$

$f \cdot p\,dx_I \wedge dx_K + f \cdot q\,dx_I \wedge dx_L + g \cdot p\,dx_J \wedge dx_K + g \cdot q\,dx_J \wedge dx_L,$

etc., où dx_I, respectivement J et K, L représentent des k-formes basiques. En d'autres termes, le produit des sommes est la somme de tous les produits possibles

Essayons maintenant de définir des k-formes sur des variétés différentielles. Pour ce faire, supposons que l'on a recouvert notre variété par des ouverts de carte. Ceci nous donne des coordonnées locales, une k-forme globale est alors un ensemble de k-formes dans chaque système de coordonnées, qui se raccordent convenablement sur les intersections des ouverts de carte.

[modifier] Propriétés du produit extérieur

Il peut être prouvé que si f, g et w sont des formes différentielles quelconques alors :

$w \wedge (f + g) = w \wedge f + w \wedge g.$

Et que si f est une k-forme, et que g est une l-forme alors :

$f \wedge g = (-1)^{kl} g \wedge f.$

[modifier] Définition formelle

En géométrie différentielle, une forme différentielle de degré k est une section de classe $\mathcal C^\infty$ de la k^e puissance extérieure du fibré cotangent d'une variété. En tout point p d'une variété, une k-forme est une application multilinéaire de la k^e puissance cartésienne de l'espace tangent à p vers $\mathbb R$ . La k-forme est un tenseur covariant antisymétrique.

Par exemple, la différentielle d'une fonction régulière sur une variété (0-forme) est une 1-forme. Les 1-formes sont particulièrement utiles dans le traitement des tenseurs en dehors d'un système de coordonnées. Dans ce contexte, elles peuvent être définies comme des fonctions vectorielles linéaires sur les nombres réels. Grâce à elles, on peut constituer un espace duale via l'espace vectoriel sur lequel elles sont définies.

[modifier] Intégration des formes

Les formes différentielles de degré k sont intégrées sur des chaînes de dimension k. Si k est nul, alors il s'agit d'une évaluation des fonctions aux points considérés. D'autres valeurs de k, avec k > 0, correspondent aux intégrales curvilignes, de surfaces, de volumes, etc.

Soit

$\omega=\sum a_{i_1,\cdots,i_k}({\mathbf x})\,dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$

une forme différentielle et S l'ensemble d'intégration où S est paramétrisé par :

$S({\mathbf u})=(x_1({\mathbf u}),\cdots,x_n({\mathbf u}))$

avec u un paramètre dans le domaine D. Alors [Rudin, 1976] définit l'intégrale de la forme différentielle sur S par :

$\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\cdots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}\,d{\mathbf u}$

où

$\frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}$

est le déterminant du jacobien.

voir aussi le théorème de Stokes

[modifier] Opérations sur les formes

L'ensemble de toutes les k-formes sur une variété est un espace vectoriel. De plus, il y a trois opérations :

La relation fondamentale entre la dérivée extérieure et l'intégration est donnée par le théorème de Stokes qui indique également la dualité entre la cohomologie de De Rham et l'homologie des chaînes.

[modifier] Articles connexes

Cohomologie

[modifier] Références

Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin, New York McGraw-Hill, Inc., 1976, ISBN 0-07-054235
Calculus on Manifolds, Michael Spivak, W. A. Benjamin, Inc., 1965, ISBN 66-10910
Mathematical Analysis II, Vladimir A. Zorich, Springer, 2004, ISBN 3540406336

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[modifier] Formes différentielles sur les variétés

[modifier] Définition dans les cartes locales

[modifier] Définition formelle

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[modifier] Forme différentielle généralisée

[modifier] Définition

[modifier] Exemples

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[modifier] Définition formelle

[modifier] Intégration des formes

[modifier] Opérations sur les formes

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