Algèbre extérieure

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En mathématiques, l'algèbre extérieure ou algèbre de Grassmann d'un espace vectoriel est une algèbre dont E est un sous-espace. Elle permet de faire des calculs algébriques avec des objets tels que parallélogrammes orientés, parallélépipèdes orientés, etc. En topologie différentielle on étend l'algèbre extérieure aux variétés pour donner le concept de forme différentielle et le produit extérieur correspondant.

Le nom d'algèbre de Grassmann est un hommage au mathématicien allemand Hermann Grassmann. L'algèbre de l'espace E se note Λ(E), parfois avec un point Λ^•(E). Sa loi produit est appelée produit extérieur et notée $\wedge$ ; elle est associative, bilinéaire et alternée sur les vecteurs de E, ce qui donne les lois

$\forall u \in E, \forall v \in E \qquad v\wedge v = 0 \qquad u\wedge v = - v\wedge u$

De plus, le produit extérieur d'une famille liée de vecteurs de E est nul.

[modifier] Définition intuitive

L'algèbre extérieure peut être caractérisée comme l'algèbre la « plus simple » possédant les propriétés précédentes, ce qui s'exprime formellement à l'aide d'un problème universel. Dans un premier temps on peut se contenter d'une description par générateurs et relations.

Les éléments de la forme $v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_k$ avec v₁,…,v_k dans E sont appelés k-vecteurs. Le sous-espace de Λ(E) engendré par tous les k-vecteurs porte le nom de k-ème puissance extérieure de E et se note Λ^k(E). Les éléments de cet espace sont donc des combinaisons de k-vecteurs, pas forcément des k-vecteurs.

L'algèbre extérieure apparaît comme la somme directe des puissances extérieures successives :

$\Lambda(E) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k E$

L'indice k forme un degré compatible avec le produit extérieur : le produit d'un k-vecteur et d'un l-vecteur est un vecteur de degré inférieur à k+l. Ainsi l'algèbre extérieure a une structure d'algèbre graduée.

Les relations

$\forall u \in E, \forall v \in E \qquad v\wedge v = 0 \qquad u\wedge v = - v\wedge u$

ne sont vraies en général que pour des vecteurs, pas pour des k-vecteurs, ni des éléments de l'algèbre extérieure.

Une interprétation géométrique des k-vecteurs : le 2-vecteur $u\wedge v$ représente le parallélogramme orienté de côtés u et v, le 3-vecteur $u\wedge v\wedge w$ représente le parallélépipède orienté de côtés u, v, et w.

[modifier] Base et dimension

Si E est de dimension n et de base (e₁,...,e_n), alors il est possible de donner une base de la k-ème puissance extérieure Λ^k(E), sous la forme

$\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}$

En effet, c'est un résultat général de décomposition pour les applications multilinéaires. Chacune des composantes du k-vecteur sur cette base est un mineur de la matrice représentative du système de vecteurs v_j sur la base e_i.

La dimension of Λ^k(E) est le coefficient binomial ${n \choose k}$ . Notamment, Λ^k(E) = {0} pour k > n.

L'algèbre extérieure est une algèbre graduée égale à la somme directe

$\Lambda(E) = \Lambda^0(E)\oplus \Lambda^1(E) \oplus \Lambda^2(E) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(E)$

(dans laquelle Λ⁰(E) = K et Λ¹(E) = E), et sa dimension est donc 2ⁿ.

[modifier] Définition explicite

L'objectif est, à partir d'un espace vectoriel E de construire une algèbre, la plus générale possible, avec un produit ayant la propriété d'alternance. Il est naturel de voir dans ce problème une variante de l'introduction de l'algèbre tensorielle T(E), et d'obtenir la propriété d'alternance par un quotient adapté. Soit donc I l'idéal bilatère de T(E) engendré par les éléments de la forme v⊗v pour v appartenant à E. L'espace ΛE est défini comme le quotient