Dérivée de Lie

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La dérivée de Lie est une opération de différentiation naturelle sur les champs de tenseurs, en particulier les formes différentielles, généralisant la dérivation directionnelle d'une fonction sur une variété différentielle.

Notation : M désigne une variété différentielle de dimension n. $Ω M$ est l'espace des formes différentielles sur M. X est un champ de vecteurs sur M.

[modifier] Approche axiomatique

Il existe une unique application linéaire $\mathcal{L}_X:\Omega M\rightarrow \Omega M$ vérifiant les hypothèses suivantes :

$\mathcal{L}_X$ préserve le degré.
$\mathcal{L}_X$ est une dérivation de l'algèbre $Ω M$ .
$\mathcal{L}_X$ et d commutent.

[modifier] Définition dynamique

Soit $φ t$ le flot de X (pour t petit). On défini la dérivée de Lie d'un champ de tenseurs K par

$\mathcal{L}_X K=\frac{d}{dt}_{|_{t=0}} \phi^*_t K$

[modifier] Formule de Cartan

$\mathcal{L}_X=\iota_X d+d\iota_X$

Application :

$\mathcal{L}_{fX}\omega=f.\mathcal{L}_X\omega+df\wedge \iota_X\omega$

[modifier] Naturalité

$\varphi^*\left[\mathcal{L}_X\omega\right]=\mathcal{L}_{\varphi^*X}\left[\varphi^*\omega\right]$

[modifier] Définition de la divergence

Dans $R n$ on a la formule suivante

$\mathcal{L}_X\left[dx_1\wedge\dots\wedge dx_n\right]=\left[div X\right].dw_1\wedge\dots \wedge dx_n$

qu'on peut généraliser en définition de la divergence d'un champ de vecteur sur toute variété munie d'une forme volume $ω$ , en particulier les variétés riemanniennes.

$\mathcal{L}_X\omega=\left[div X\right].\omega$ .