Espace tangent

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L'espace tangent en un point d'une variété différentielle est un espace vectoriel qui décrit intuitivement les différentes directions que peuvent prendre les chemins contenus dans la variété et qui passent par ce point.

Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier. Cette façon d'interpréter l'espace tangent revient à considérer que la variété a localement une structure proche de celle d'un espace affine.

Sommaire

1 Définition lorque la variété est plongée
2 Définition formelle
- 2.1 Définition en terme de chemins
3 Voir aussi

[modifier] Définition lorque la variété est plongée

Lorsque la variété est plongée dans $\mathbb{R}^n$ , l'espace tangent en un point M est simplement l'ensemble des limites des vecteurs MN losrque N est un point mobile qui tend vers M.

[modifier] Définition formelle

[modifier] Définition en terme de chemins

Supposons que $M$ est une variété différentielle de dimension $n$ et de classe $\mathcal{C}^1$ et que $p$ est un point de $M$ . Soit $(U,\varphi)$ une carte locale de $M$ en $p$ . Deux courbes $\gamma_1,\gamma_2:]-1,1[\rightarrow M$ , telles que $\varphi\circ\gamma_1, \varphi\circ\gamma_2$ sont différentiables en $0$ , sont dites tangentes si $\varphi\circ\gamma_1(0)=\varphi\circ\gamma_2(0)$ . Cette relation est une relation d'équivalence dont les classes est l'espace tangent en $p$ de $M$ et noté $T p (M)$ . La fonction $\gamma\mapsto \phi\circ\gamma'(0)$ induit une bijection de $T p (M)$ dans $\mathbb{R}^n$ qui fait de l'espace tangent un espace vectoriel.