Discuter:Forme différentielle

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Je m'interroge sur la phrase suivante :

"En géométrie différentielle, une forme différentielle de degré k est une section de classe \mathcal C^\infty de la ke puissance extérieure du fibré contangent d'une variété. En tout point p d'une variété, une k-forme est une application multilinéaire de la ke puissance cartésienne de l'espace tangent à p vers \mathbb R. La k-forme est un tenseur covariant antisymétrique."

Je ne suis pas sûr d'être d'accord. Je sais ce qu'est la k-ième puissance extérieure d'un espace vectoriel, mais pas d'un fibré en général. Pour moi, il y a une confusion dans l'ordre des choses : il faut d'abord prendre la k-ième puissance extérieure de l'espace cotangent, puis prendre le fibré de ces puissances extérieures. la formulation actuelle pose également le problème suivant : parler de section de "la k-ième puissance extérieure du fibré cotangent" suppose que cette k-ième puissance est un fibré, ce qui ne me paraît pas être le cas (c'est impossible de définir la projection canonique Tamamanquitaime 18 mars 2006 à 19:01 (CET)

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Bonjour,

1) Pour répondre au message précédent, la k-ième puissance extérieure d'un fibré vectoriel est bien définie.

2) Il faut arriver à simplifier la définition ... Apparemment, tout le monde n'est pas à l'aise avec les fibrés vectoriels. Grosso modo, une forme différentielle est une famille d'applications multilinéaires avec dépendance du point de base. Puis on dit ce que c'est pour un ouvert, et on explicite l'écriture en coordonnées locales. Là il nous faut des exemples simples : par exemple dθ en coordonnées sphériques. On donne dans un deuxième temps la définition formelle. L'intégration d'une forme différentielle est à remporter dans un autre article. La différentielle extérieure fait l'objet d'un article.

3) Généraliser le concept de formes différentielles : formes différentielles E-valuées ...

4) Citer plus de références et mettre des liens externes.

Ektoplastor

Je suis content que tu proposes un plan d'attaque sur ce chantier. Les sections de fibré vectoriel font effectivement un peu trop emphatique pour démarrer. Il vaut mieux se concentrer sur le changement de carte et introduire le pullback.

Mais il me semble que ça pourrait être bien de parler de formes différentielles d'ordre 1 dans un premier article ? Elles sont une bonne porte d'entrée, et intéressantes en soi

Peps 22 juillet 2006 à 11:46 (CEST)