Codimension
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La codimension est une notion d'algèbre linéaire.
Elle prend un sens dans le cas des espaces vectoriels et s'applique à un sous-espace vectoriel.
Sommaire |
[modifier] Définition
La codimension d'un sous-espace vectoriel est la dimension d'un de ses sous-espaces supplémentaires.
Cette définition prend un sens car tout sous-espace supplémentaire possède la même dimension.
[modifier] Remarque
En dimension finie la codimension est égale à la soustraction de la dimension de l'espace par la dimension du sous-espace.
En dimension infinie, la codimension peut être finie, mais le sous-espace est alors de dimension infinie. Un sous-espace de dimension finie a toujours une codimension infinie.
[modifier] Démonstrations
Soit E un espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel et G et H deux supplémentaires de F. Alors l'article Sous-espaces supplémentaires montre que E est isomorphe à FxG et FxH. Donc FxG et FxH sont isomorphe, par passage au quotient, FxG/F est isomorphe à FxH/F et donc G est isomorphe à H.
Le paragraphe propriétés sur la dimension d'un espace vectoriel montre que deux espaces vectoriels ne sont isomorphes que s'ils ont des dimensions égales.
En dimension finie, le théorème de la base incomplète montre que l'on peut compléter la base de F pour obtenir une base de E. Comme toute base a pour cardinal la dimension de l'espace, on en déduit que, en dimension finie la codimension est égale à la soustraction de la dimension de l'espace par la dimension du sous-espace.
Considérons le sous-espace des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, il possède comme suplémentaire le sous-espace des constantes. Il est donc de codimension 1.
Soit un sous-espace de dimension finie ayant une codimension finie. Alors il existe une base formée par une base du sous-espace et du suplémentaire de cardinal fini. L'espace est donc de dimension finie. La contraposée indique que dans un espace de dimension infinie la codimension d'un sous-espace de dimension fini est toujours infinie.
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