Axiomes des probabilités

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Commençons par donner une définition simple d'une probabilité. Considérons une expérience aléatoire $\mathcal E$ (ou épreuve aléatoire), et $\ \Omega$ l'univers associée à cette expérience (ensemble de tous les résultats possibles).

Une probabilité $\ P$ est une application qui, à un évènement $\ A$ quelconque lié à l'expérience aléatoire $\mathcal E$ , associe un nombre réel (noté $\ P(A)$ ), de telle manière que $\ P$ satisfasse les axiomes de Kolmogorov :

Premier axiome

Pour tout évènement $\ A$ :

$0 \leq P(A) \leq 1.$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

$\ P(\Omega) = 1$ .

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), $A_1,\, A_2, \dots$ satisfait:

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} P(A_i)$ .

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Ces trois axiomes sont connus comme étant les axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

D'une manière plus théorique, une probabilité peut être définie comme une mesure sur une σ-algèbre ou tribu $\mathcal B$ de sous-ensembles d'un univers $\ \Omega$ (ces sous-ensembles étant les évènements), telle que la mesure de l'univers soit égale à 1.

Cette propriété est importante, puisqu'elle nous amène naturellement au concept de probabilité conditionnelle. Tout évènement $\ A$ de probabilité non nulle définit une autre probabilité $\ P_A$ sur l'univers :

pour tout évènement $\ B$ de $\mathcal B$ , on pose : $P_A(B) = {P(B \cap A) \over P(A)}.$

Le réel $\ P_A(B)$ se note aussi $\ P(B | A)$ et habituellement $\ P(B | A)$ se lit « la probabilité conditionnelle de $\ B$ , sachant $\ A$ » ou « la probabilité de $\ B$ , sachant que $\ A$ s'est réalisé ».

[modifier] Propriétés d'une probabilité

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

$P(\emptyset)=0$ .

si $\ A$ , $\ B$ sont deux évènements incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

pour tous évènements $\ A$ , $\ B$ , $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements $\ A$ ou $\ B$ se réalise est égale à la somme des probabilités pour que $\ A$ se réalise, et pour que $\ B$ se réalise, moins la probabilité pour que $\ A$ et $\ B$ se réalisent simultanément.

pour tout évènement $\ A$ , $P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)$ .

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ;

cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement.

$P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$ ; en particulier, si $A \subset B$ , alors $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$

(il en résulte que si $A \subset B$ , alors $P(A) \leq P(B)$ : c'est la propriété de croissance de la probabilité).

La relation précédente signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence $P(B) - P(A \cap B)$ .

[modifier] Voir aussi

Probabilité conditionnelle

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