Axiomas de probabilidad
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Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogorov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.
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[editar] Axiomas de Kolmogorov
Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω,sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-algebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", diremos que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.
[editar] Primer axioma
.
La probabilidad de un suceso es un numero positivo o nulo.
[editar] Segundo axioma
Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.
[editar] Tercer axioma
entonces:
.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades sumando las probabilidades de sus componentes.
[editar] Propiedades que se deducen de los axiomas
De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:
donde el conjunto vacío
representa en probabilidad el suceso imposible
- Para cualquier suceso
- Si
entonces
En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-algebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogorov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).
Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente , tomaremos como σ-algebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por
) y como función de probabilidad
Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogorov y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto.
, puesto que es el cociente de dos números positivos
- Si
de tal manera que
entonces
-
- con lo que
- con lo que
[editar] Véase también
[editar] Referencias
- Departamento de Matemáticas (Fac. Ing.), Universidad Autónoma de Queretaro, México
- Departamento de Ciencias Físicias y Matemáticas, U. Arturo Prat, Colombia
[editar] Enlaces externos
- Andrey Nikolaevich Kolmogorov (en inglés)