Axiomas de probabilidad

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Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.

La probabilidad P de un suceso E, denotada por $P (E)$ , se define con respecto a un "universo" o espacio muestral $Ω$ , conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogorov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de $Ω$ .

[editar] Axiomas de Kolmogorov

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω,sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-algebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", diremos que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

[editar] Primer axioma

La probabilidad de un suceso

A

es un número real mayor o igual que 0.

$0 \leq P(A)$ .

La probabilidad de un suceso es un numero positivo o nulo.

[editar] Segundo axioma

La probabilidad del total,

Ω

, es igual a 1.

$P(\Omega) = 1\!$

$Ω$ representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.

[editar] Tercer axioma

Si A₁, A₂ ... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos),

entonces:

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i)$ .

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades sumando las probabilidades de sus componentes.

[editar] Propiedades que se deducen de los axiomas

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

$P(\varnothing)=0$ donde el conjunto vacío $(\varnothing)$ representa en probabilidad el suceso imposible
Para cualquier suceso $P(A) \leq 1$
$P(A^c)=1-P(A)\;\!$
Si $A \subseteq B$ entonces $P(A) \leq P(B)$
$P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-algebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogorov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente $\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}$ , tomaremos como σ-algebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por $\mathcal {P}(\Omega)$ ) y como función de probabilidad

$P(A)= \frac {\mbox {numero de elementos de A}} {6}$

Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogorov y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto.

$P(A)= \frac {\mbox {numero de elementos de A}} {6} \geq 0$ , puesto que es el cociente de dos números positivos
$P(\Omega)=P \left ( \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} \right )= \frac { \mbox{numero de elementos de } \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} } {6} = \frac {6} {6} = 1$
Si $A= A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots$ de tal manera que $A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \ne j$ entonces

$\begin{matrix} \mbox {numero de elementos de } A & = & \mbox {numero de elementos de } A_1 + \\ \ & + & \mbox {numero de elementos de } A_2 + \\ \ & + & \mbox {numero de elementos de } A_3 + \cdots \end{matrix}$