Funktionaldeterminante

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Die Funktionaldeterminante ist die Determinante der Jacobi-Matrix. Sie spielt beim Übergang zwischen Koordinatensystemen und insbesondere bei der Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen eine Rolle.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Beispiel
- 2.1 Zylinderkoordinaten
- 2.2 Kugelkoordinaten

[Bearbeiten] Definition

$\det( J ) = \left| \frac{\partial f}{\partial (x, y, z)} \right| = \begin{vmatrix} \partial f_x/\partial x & \partial f_x/\partial y & \partial f_x/\partial z \\ \partial f_y/\partial x & \partial f_y/\partial y & \partial f_y/\partial z \\ \partial f_z/\partial x & \partial f_z/\partial y & \partial f_z/\partial z \end{vmatrix}$

[Bearbeiten] Beispiel

[Bearbeiten] Zylinderkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten ( $r$ , $\varphi$ , $h$ ) in kartesische Koordinaten lauten:

$x = r \cos\varphi$

$y = r \sin\varphi$

z = h

Die Funktionaldeterminante lautet also:

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=r$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $d V$ :

$\mathrm{d}V=\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)} \right| \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}h=r \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}h$

[Bearbeiten] Kugelkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten ( $r, \theta,\varphi$ ) in kartesische Koordinaten lauten:

$x = r \sin\theta\cos\varphi$

$y = r \sin\theta\sin\varphi$

z = r cosθ

Die Funktionaldeterminante lautet also:

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}=\begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta \\ r\cos\theta\cos\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & -r\sin\theta \\ -r\sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi & 0 \end{vmatrix}=r^2\sin\theta$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $d V$ :

$\mathrm{d}V=\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi=r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$