Số vô tỉ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Số vô tỉ là số thực không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/b, với a, b là các số nguyên.

Ví dụ:

Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001...
Số $\sqrt{2}$ = 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 7...
Số pi = 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...
Số lôgarít tự nhiên e = 2.71828 18284 59045 23536...

[sửa] Biểu diễn thập phân

Có thể dùng biểu diễn thập phân (hay sự biểu diễn của một số trong hệ 10 - phân) của một số để định nghĩa số hữu tỉ và số vô tỉ.

Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: $1/2 = 0,5\,$ ) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ: $1/11 = 0,\overline{09}\,$ ) thì số vô tỉ có biểu biễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn (ví dụ: $\pi = 3,141592653589793...\,$ .

[sửa] Các thí dụ về cách chứng minh

[sửa] Căn bậc hai của 2

Giả sử rằng $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a / b = $\sqrt{2}$ .
Như vậy $\sqrt{2}$ có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.
Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².
Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)
Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b² $\Leftrightarrow$ 4k² = 2b² $\Leftrightarrow$ 2k² = b².
Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số tự nhiên hoặc là một số vô tỉ.

[sửa] Cách chứng minh khác

Để chứng minh: " $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.

Giả sử rằng $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho m/n = $\sqrt{2}$ .
Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m/n = (2n - m)/(m - n).
Vì $\sqrt{2}$ > 1, nên từ (1) suy ra m > n $\Leftrightarrow$ m > 2n - m.
Từ (2) và (3) suy ra (2n - m)/(m - n) là phân số rút gọn của phân số m/n.

Từ (4) suy ra, m/n không thể là phân số tối giản hay $\sqrt{2}$ không thể là số hữu tỉ - mâu thuẫn với giả thiết $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ. Vậy $\sqrt{2}$ phải là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số $\sqrt{2}$ - một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m. Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số m/n bằng $\sqrt{2}$ . Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng m − n và 2n − m. Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy ra tỉ số (2n − m)/(m − n) cũng bằng $\sqrt{2}$ . Như vậy, m/n = (2n − m)/(m − n), điều này chứng tỏ phân số m/n không thể là phân số tối giản hay $\sqrt{2}$ không phải là số hữu tỉ mà phải là số vô tỉ.

[sửa] Căn bậc hai của 10

Giả sử $\sqrt{10}$ là số hữu tỉ, tức là bằng m/n, vậy:

m² = 10n² trong đó m, n là số nguyên

Tuy nhiên, trong hệ thập phân, bất kỳ số bình phương nào cũng có số chẵn số 0 ở cuối. (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, trong hệ thập phân, đều có dạng: a.10^k, k ≥ 0, trong đó a không kết thúc bằng số 0. Vậy bất kỳ số bình phương n² nào cũng có dạng: a² 10^2k, k ≥ 0.)

Như vậy, trong đẳng thức ở trên, vế trái có số chẵn số 0 ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết $\sqrt{10}$ là số hữu tỉ phải sai.

[sửa] Căn bậc hai của tất cả các số nguyên

Dùng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.

Lấy số nguyên bất kỳ r.

Thí dụ, r = 2.

Trong hệ nhị phân, 2 = 10₂

Vậy, như ở trên, nếu $\sqrt{10_2}$ = m/n thì, trong hệ nhị phân:

m² = 10₂ n² trong đó m, n là số nguyên

Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết $\sqrt{2}$ không phải là số nguyên.

Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết $\sqrt{10_2}$ là số hữu tỉ phải sai.

Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r-phân:

m² = 10_r n² trong đó m, n là số nguyên

Nếu n = 1 thì m² = 10_r = r, vậy $\sqrt{r}$ là số nguyên.

Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r-phân phải có số chẵn số 0 (trong hệ r-phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy $\sqrt{r}$ không thể là số hữu tỉ.

[sửa] Tỉ lệ vàng

Cách chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ vàng, bằng compa và thước thẳng.

Khi chia một đoạn thẳng x thành hai phần rời nhau a và b sao cho tỉ số của chiều dài của cả đoạn x với chiều dài của phần lớn a bằng tỉ số của chiều dài của phần lớn a với chiều dài của phần nhỏ b, thì tỉ số đó được gọi là tỉ lệ vàng, nó bằng:

x = a + b

a > b

x : a = a : b

$\varphi={1+\sqrt{5} \over 2}.$

Giả sử tỉ số này là một số hữu tỉ, có dạng phân số tối giản là n/m. Trong đó, n là chiều dài của cả đoạn và m là chiều dài của phần lớn. Suy ra, chiều dài của phần nhỏ là n − m. Và ta có:

${n \over m}={\mathrm{whole} \over \mathrm{longer}\ \mathrm{part}} ={\mathrm{longer}\ \mathrm{part} \over \mathrm{shorter}\ \mathrm{part}} ={m \over n-m}.$

Điều này có nghĩa là phân số tối giản n/m được rút gọn thành m/(n - m) - một sự vô lí. Sự vô lí này chứng tỏ việc thừa nhận tỉ số φ là số hữu tỉ là sai. Vậy φ là một số vô tỉ.

[sửa] Lôgarít

Có lẽ, các số vô tỉ dễ nhận ra nhất là các lôgarít. Dưới đây ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh rằng log₂3 là một số vô tỉ:

Giả sử log₂3 là một số hữu tỉ. Khi đó tồn tại hai số nguyên dương m và n thỏa mãn: log₂3 = m/n.
Từ (1) suy ra 2^m/n = 3.
Nâng hai vế của (2) lên lũy thừa bậc n, ta có: 2^m = 3ⁿ.
Mặt khác, 2^m - lũy thừa cơ số 2 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và chẵn (vì là tích với ít nhất một thừa số 2), còn 3ⁿ - lũy thừa cơ số 3 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và lẻ (vì là tích với ít nhất một thừa số 3), nên 2^m ≠ 3ⁿ.
Từ (3) và (4) suy ra mâu thuẫn, chứng tỏ điều giả sử ban đầu: "log₂3 là một số hữu tỉ" là sai.

Tương tự, bạn có thể chứng minh cho trường hợp: log₁₀2.

[sửa] Số vô tỉ siêu việt và vô tỉ đại số

Một số vô tỉ hoặc là số siêu việt hoặc là số đại số (hay Không-đa thức với các hệ số nguyên), trong đó hầu hết các số vô tỉ đều là số siêu việt và số siêu việt là số vô tỉ. Ví dụ: √2, √3 là các số vô tỉ đại số; còn e và π là các số vô tỉ siêu việt.

Có thể tạo ra các số vô tỉ đại số, bằng cách xét các phương trình đa thức:

p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 xⁿ⁻¹ + ... + a₁ x + a₀ = 0

Trong đó, các hệ số a_i là số nguyên và a_n ≠ 0.

Giả sử rằng có ít nhất một số thực x sao cho p(x) = 0 (ví dụ, với n lẻ ta luôn tìm được một số x như vậy) thì x là số vô tỉ khi phương trình đa thức trên không có nghiệm hữu tỉ. Nếu đa thức p có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó có dạng r/s, trong đó: r là ước của a₀ và s là ước của a_n. Vì thế bằng cách thử trực tiếp các giá trị r/s trên bạn có thể biết chúng có phải là nghiệm của p không. Nếu tất cả các giá trị đó đều không là nghiệm của p thì x phải là số vô tỉ.

Ví dụ, bằng cách trên bạn có thể chỉ ra rằng x = (2^1/2 + 1)^1/3 là một số vô tỉ đại số. Thật vậy, ta có (x³ − 1)² = 2 do đó x⁶ − 2x³ − 1 = 0, phương trình thứ hai là một phương trình đa thức không có nghiệm hữu tỉ, vì các giá trị r/s = ±1 đều không phải là nghiệm của nó.

Để tạo ra các số vô tỉ siêu việt, bạn không thể dùng cách: kết hợp các số đại số với nhau, vì các số đại số lập thành một trường. Nhưng bạn có thể dùng cách: kết hợp các số siêu việt với các số đại số. Ví dụ: 3π+2, π + √2 và e√3 là các số vô tỉ (cũng là các số siêu việt).

[sửa] Câu hỏi chưa có lời giải

Các số π + e và π − e là số vô tỉ hay không phải là số vô tỉ? Thực tế, chưa ai tìm ra được một cặp số nguyên khác Không m và n để khẳng định rằng mπ + ne hoặc là số vô tỉ hoặc không phải là số vô tỉ.