無理数

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無理数（むりすう、irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数として表すことのできない実数を指す。無理数は有理数よりも多いことが知られている。

[編集] 無理数の例・判定法

$\sqrt{2}$ が無理数であることは既にピュタゴラスによって示されていた。一般に m が 1 より大きい整数ならば、整数 N の m 乗根はそれが整数でなければ無理数である。また、log_m n の形の数が有理数であるならば、m = N^a, n = N^b を満たす整数 N, a, b が存在する。したがってlog₂ 3, log₂ 5 のような数は無理数である。

自然対数の底 e や円周率 π, また e^π や ζ(3) のような数も無理数であることが知られている。詳しくは後述する歴史の項を参照。

繰り返しのない無限小数であらわされる数は常に無理数である。よって、正の整数を小さいほうから順番に並べた小数であるチャンパーノウン定数

$0.123456789101112\cdots,$

素数を小さいほうから順に並べた小数であるコープランド－エルデシュ定数

$0.2357111317192329\cdots$

（共に基数が 10 のとき）なども無理数である。また、α が任意の ε > 0 に対して不等式

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{\epsilon}{q}$

の有理数解 p / q をもつとき、α は無理数である。多くの無理数性の証明はこれを用いている。また、これは次の項で述べるように α が無理数であるための必要条件でもある。

実際には、実数の全体が非可算で有理数の全体は可算であるから、ほとんどの実数は無理数であることになる。

[編集] 性質

無理数を十進小数で表記すると、繰り返しのない無限小数になる。これは位取りの基数によらず一般の N 進小数にも当てはまる。

α を無理数とすると、

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$

を満たす無限に多くの有理数 p / q が存在する（ディリクレの定理）。なお、このように無理数の有理数による近似を扱う理論はディオファントス近似と呼ばれる数論の分野に属する。

　無理数全体の空間を完備とするような距離が存在する。またA-演算が自然に応用できる例でもあり、此の空間は点集合論的トポロジーでは重要な対象である。

[編集] 代数的無理数と超越数

無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。

α が代数的数、κ > 2 ならば、

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{\kappa}}$

を満たす有理数 p / q は有限個しかない（トゥエ－ジーゲル－ロースの定理）。このことは不定方程式の解の有限性を示すときに使われる。

$\sqrt{2}$ は代数的無理数であり、log₂ 3, e, π, e^π といった数は超越数である。ζ(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。詳しくは超越数の項を参照。

[編集] 歴史

無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。プラトンは彼の著書『テアイテトス』の中で平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じ、さらに同じ論法が立方根にも適用できると述べている。これらの数学的な蓄積を受けて、エウクレイデスは『原論』の中で統一した形で実数論を展開している。

しかし当時の数学者は数を長さとして現われるものに限って議論していたため、今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。円周率 π の無理性はすでにアリストテレスによって予想されていたが、実際に証明されたのはそれよりはるかに後の時代のことである（ヨハン・ハインリヒ・ランベルト）。

ζ(3) はアペリーによって1979年に無理数であることが証明された。π+e^πはネステレンコによって無理数であることが証明された。

[編集] 未解決の問題

オイラー定数 γ, π + e, eπ, その他 P(e, π)（P(X, Y) は X, Y 双方について次数が 1 以上である多項式）は有理数であるか無理数であるか知られていない。e^e, π^e, π^π といった数も同様である。

[編集] 参考文献

塩川宇賢、無理数と超越数、森北出版、1999。
W. M. Schmidt, Diophantine Approximations, Lecture Notes in Math. 785, Springer-Verlag, 1980.
W. M. Schmidt: Diophantine approximations and diophantine equations, Lecture Notes in Math. 1467. Springer-Verlag, 1991.
R. Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61(1979), 11--13.
A. van der Poorten, A Proof that Euler Missed... Apéry's Proof of the Irrationality of ζ(3), Math. Intel. 1(1979, 196--203.