Numerus irrationalis
E Vicipaedia
Sistemata Numerica Mathematicae. | |
Numeri Elementarii | |
Naturales
Integri
Rationales
Complexi
|
|
Aliae bases | |
|
Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus N est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles a et b tales ut
non sunt.
Notum autem est omnem irrationalem numerum infinitas figuras decimales necessarie habere, sed mathematicus nullus numerum irrationalem sic definit.
[recensere] Nonnulli irrationales numeri
Sine ulla dubitatione numerorum irrationalium praeclarissimus est numerus pi, cuius irrationalitas ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 demonstrata est. Etiam constat numerum Euleri, esse irrationales.
[recensere] Praeclara demonstratio
Numerum esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur. Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum.
Pro certo ponamus
,
unde a,b factores primi aequales non habent. In sequentis disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.
Si hoc est verum tunc a2 = 2b2, ergo a2 est numerus par ideoque a quoque est numerus par (si a numerus impar esset tunc quoque a2 numerus impar esset). Ut numerus a est par notum est numerum k esse talis ut a = 2k, unde a prima aequatione sequitur 2b2 = (2k)2 = 4k2, ergo b2 = 2k2. Simili modo comprobatur numerum b esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros a,b qui factores aequales non habebant. Ergo coniectura erat falsa ideoque
est numerus irrationalis QED.
[recensere] An numeri isti irrationales sint?
Mathematici nondum sciunt si π + e, π − e, et generaliter si mπ + ne, m et n numeris integris a zero dissimilibus, irrationales sint; neque autem si 2e, πe, et constans Euleri-Mascheroni γ etiam irrationales sint.