Iracionalni brojevi
Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.
Primjeri (transcedentnih) iracionalnih brojeva su:
Algebarski iracionalni brojevi su korijen iz 2, 3, 5...
Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnoj pravoj ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo tačaka (iracionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu srazmjerne s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz √2 na brojevnoj pravoj.
[izmijeni] Euklidov dokaz
Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na slijedeći način:
- dopustimo da korijen od 2 jest racionalan.
- onda je √2 = n/m, gdje n i m su cijeli brojevi koji nemaju općeg djelioca (jer bi ga inače mogli skratiti). Ali onda
, n2 = 2m2, gdje n i m su cijeli brojevi. Vidi se jasno da se n2 dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i n dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 (42 = 16, na primjer, ali 52 = 25; dokaz nije složen). - Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako se n dijeli na 2, onda n = 2r, i (2r)2 = 2m2, 4r2 = 2m2. Ovo pak znači 2r2 = m2 i m je dijeljivo na 2. Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> korijen iz 2 je iracionalan.
