Опукла множина

Опукла множина — підмножина евклідового простору яка містить відрізок, який з'єднує будь які дві точки цієї множини.

[ред.] Визначення

Іншими словами, множина X ⊂ Rⁿ називається опуклою, якщо:

$\alpha x_1 + (1 - \alpha) x_2 \in \mathbf X, \quad \forall x_1, x_2 \in X, \, \alpha \in [0, 1].$

Тобто, якщо множина X разом з будь якими двома точками x₁, x₂ які належать цій множини, містить відрізок, який їх з'єднує:

$[x_1, x_2] = \left\{x:\, x = x_2 + \alpha (x_1 - x_2),\, \alpha \in [0, 1]\right\}$ .

В просторі R¹ опуклими множинами будуть пряма, напівпряма, відрізок, інтервал, одноточкова множина.

В просторі Rⁿ опуклим буде сам простір, будь який його лінійний підпростір, куля, відрізок, одноточкова множина. Також, опуклими будуть такі множини:

$l_{\mathbf X 0h} = \left\{x \in \mathbf R^n:\, x = x_0 + \alpha h, \alpha \in \mathbf R^n \right\}$ ;

$l_{\mathbf X 0h}^{+} = \left\{x \in \mathbf R^n:\, x = x_0 + \alpha h,\, \alpha \ge 0 \right\}$ ;

$\mathrm H_{p\beta} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) = \beta \right\}$ ;

$\mathrm H_{p\beta}^{+} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) \ge \beta \right\}$ ,

$\mathrm H_{p\beta}^{-} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) \le \beta \right\}$ .

Всі перелічені множини (крім кулі) є частковими випадками опуклої множини поліедру.

Перетин опуклих множин є опуклим.
лінійна комбінація точок опуклої множини опукла.
опукла множина містить будь яку опуклу комбінацію своїх точок.
будь яку точку n-вимірного евклідового простору з опуклої оболонки множини можна представити як опуклу комбінацію не більш ніж n+1 точок цієї множини.