קבוצה קמורה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, קבוצת נקודות היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הישר המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה. למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.

מושג הקמירות מופיע גם בהקשר של פונקציות. הגדרה שקולה לפונקציה קמורה היא פונקציה כך שקבוצת הנקודות שנמצאות מעל הגרף שלה היא קבוצה קמורה.

הקמור של קבוצת נקודות הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות - ובהגדרה שקולה, החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את קבוצת הנקודות.

לקמירות שימושים ברבים מתחומי המתמטיקה. למשל, בתחום האנליזה הפונקציונלית, אם קבוצה במרחב הילברט כלשהו היא קמורה וסגורה, זה מבטיח שלכל נקודה במרחב קיימת נקודה אחת ויחידה בקבוצה שמרחקה ממנה מינימלי.

[עריכה] הגדרה

[עריכה] קמירות

תהא $\ C$ קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי (או מרוכב). נאמר כי $\ C$ קמורה אם ורק אם לכל שתי נקודות $\ x,y\isin C$ ולכל $\ \lambda\isin \left[0,1\right]$ מתקיים $\ \lambda\cdot x+(1-\lambda)\cdot y\isin C$ .

[עריכה] קמירות בת מניה

תהי $\,K$ קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי או מרוכב. נאמר ש- $\,K$ היא $\, \sigma$ -קמורה או Perfectly Convex אם לכל סדרת מספרים ממשיים (המכונים משקולות) $\ \alpha_n \ge 0 \ , \ \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_n} = 1$ ולכל סדרת נקודות $\ \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset K$ ב- $\,K$ מתקיים: $\ \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_n x_n} \in K$ .