Перетин множин
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В математиці, зокрема в теорії множин, перетином двох множин A та B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які одночасно належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B які належать A) і тільки їх.
Перетин множин A та B позначається як "A ∩B".
Формально:
- x - елемент множини A ∩B тоді й тільки тоді, якщо
- x - елемент множини A і одночасно
- x - елемент множини B.
Наприклад, перетин множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} є {2, 3}.
Якщо перетин двох множин A та B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються. Цей факт позначається як A ∩B = Ø. Наприклад, множини {1, 2} та {3, 4} не перетинаються, тобто {1, 2} ∩{3, 4} = Ø.
Операція перетину є асоціативною та комутативною. Тобто,
- A ∩(B ∩C) = (A ∩B) ∩C (асоціативність).
- A ∩B = B ∩A (комутативність)
В загальному випадку, мова може вестись про перетин довільної (непорожньої) кількості множин. Нехай множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тодій й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A. В символьній формі:
Наприклад, множина, A ∩B ∩C є перетином такої колекції множин {A,B,C}.
The notation for this last concept can vary considerably. В теорії множин загальноприйнятним для позначення факту перетину колекції множин вважається запис "∩M", або "∩A∈M A". Остання нотація може бути узагальнена до "∩i∈I Ai", що позначає перетин колекції множин {Ai : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і Ai - множина для кожного i в I.
В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:
Також можна писати "A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...
