Підмножина
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Якщо X та Y - множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:
- X є підмножиною (частиною) Y, позначення — X ⊆ Y;
- Y - надмножина (охоплююча множина) X, позначення — Y ⊇ X.
Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не співпадає з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X - точна підмножина Y, то цей факт записується як X ⊂ Y. Відношення "бути підмножиною" має назву включення.
[ред.] Варіанти позначень
Існують дві системи позначень відношень включення Старіша система використовує символ "⊂" для позначення будь-якої підмножини, і символ "⊊" для позначення точної підмножини. Нова система використовує "⊆" для позначення будь-якої підмножини, і "⊂" для позначення точної підмножини.
[ред.] Приклади
- Множина {1, 2} є точною підмножиною {1, 2, 3}.
- Множина натуральних чисел є точною підмножиною множини раціональних чисел.
- Будь-яка множина є своєю підмножиною, але не точною.
- Порожня множина ∅ є також точною підмножиною будь-якої множини.
[ред.] Властивості
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Порожня множина є підмножиною всякої множини.
Доведення: Для довільної множини A потрібно довести, що ∅ є підмножиною A. Це рівнозначно тому, щоби показати, що всі елементиT ∅ є також елементами A. Але в ∅ не існує жодного елемента.
Пояснимо: завдяки тому, що в ∅ немає елементів, "вони" не можуть бути нічиїми елементами. Тому для доведення зворотнього, що ∅ не є підмножиною A, нам потрібно було б знайти такий елемент ∅, який не є одночасно елементом A. Таких елементів не існує (їх не існує взагалі), тому твердження 1 справедливе.
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A, B та C є множини, тоді справедливі наступні властивості відношення включення:
- рефлексивність:
-
- A ⊆ A
-
- антисиметричність:
-
- A ⊆ B та B ⊆ A тоді й тільки тоді, коли A = B
-
- транзитивність:
-
- Якщо A ⊆ B та B ⊆ C то A ⊆ C
-
Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри.
ТВЕРДЖЕННЯ 3: Якщо A, B та C - підмножини S, то виконується наступне:
- існування верхньої межі та нижньої межі:
-
- Ø ⊆ A ⊆ S
-
- існування зв'язків:
-
- A ⊆ A ∪B
- Якщо A ⊆ C та B ⊆ C то A ∪B ⊆ C
-
- існування перетину:
-
- A ∩B ⊆ A
- Якщо C ⊆ A та C ⊆ B то C ⊆ A ∩B
-
ТВЕРДЖЕННЯ 4: Для будь-яких множин A та B, наступні твердження еквівалентні:
-
- A ⊆ B
- A ∩B = A
- A ∪B = B
- A − B = Ø
- BC ⊆ AC
