Инверзне хиперболичке функције

Из пројекта Википедија

Инверзне хиперболичке функције су инверзије (в. инверзна функција) хиперболичких функција: sh x - синус хиперболички, ch x - косинус хиперболички, , th x - тангенс хиперболички, cth - котангенс хиперболички. Називају се и ареа-фунције по латинској речи area - површина, јер представљају површину криволинијског троугла између темена хиперболе и исходишта координатног система (в. хиперболичке функције).

ареа-синус $\operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}), \; -\infty<x<\infty,$

ареа-косинус $\operatorname{arch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\; 1<x<\infty,$

ареа-тангенс $\operatorname{arth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\; -1<x<1,$

ареа-котангенс $\operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{10x}{1-x},\; -1<x<1.$

Англосаксонске ознаке за хиперболички синус, косинус, тангенс и котангенс су: sinh, cosh, tanh, coth па се одговарајуће инверзне функције означавају arsinh, arcosh, artanh, arcoth. Због аналогија са тригонометријом, исте функције се понекад називају и аркус-функције, са суфиксом хиперболичке да би се разликовале од тригонометријских функција. Oтуда скраћенице: arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth. Ми их тада читамо аркус синус хиперболички, итд. Такође, инверзне функције означавају се уопште са индексом "-1", тако да имамо и следеће скраћенице: sinh^-1, cosh^-1, tanh^-1, coth^-1. Читали би их: синус хиперболички на минус прву, итд.

Изводи инверзиних хиперболичких функција су:

$(\operatorname{arsh}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},$

$(\operatorname{arch}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},$

$(\operatorname{arth}x)'=\frac{1}{x^2-1},$

$(\operatorname{arcth}x)'=-\frac{1}{x^2-1}.$

Инверзне хиперболичке функције се често јављају при интегрирању рационалних функција и квадратних ирационалности.

У комплексној равни ове функције су вишезначне. Када се у њиховим формулама узму главне вредности логаритама добијају се једнозначне гране, тзв. главне вредности, које се пишу arsh z, arch z, arth z. Инверзне хиперболичке функције су везане с главним вредностима инверзних тригонометријских функција формулама:

$\operatorname{arsh}z=\frac{1}{i}\arcsin iz,$