Trigonometría

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

A trigonometría estuda as relacións entre as distintas partes do triángulo: os ángulos, os lados, os seus puntos interiores (baricentro, circuncentro, incentro, mediana, altura) e lugares xeométricos (mediatriz, bisectriz).

Índice

1 Funcións directas principais
2 Funcións directas secundarias (ou inversas matemáticamente)
3 Funcións inversas, opostas, secundarias ou arcos das funcións ("arcofuncións")
4 Teorema fundamental dos triángulos
5 Teorema fundamental da trigonometría
6 Relacións trigonométricas

[editar] Funcións directas principais

En concreto, a trigonometría establece varias funcións trigonométricas para un ángulo, definibles graficamente segundo unha circunferencia de radio unidade de tal xeito que o devandito ángulo ten o seu vértice no centro do círculo (na figura, o ángulo abrangue a zona gris):

Funcións trigonométricas directas

a función chamada seno dun ángulo (abreviada sin ou sen) relaciona o valor do cateto oposto ó angulo co da hipotenusa. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de radio unidade da figura, se a hipotenusa ten valor 1 (o do radio), o seno será o segmento vermello, é dicir, o seno terá o valor do cateto oposto cando a hipotenusa vale a unidade;

$\sin \alpha = \frac{cateto \, \, oposto}{hipotenusa}$

a función chamada coseno dun ángulo (abreviada cos, inda que en portugués se escriba con dobre s) relaciona o valor do cateto contiguo (ou adxacente) co da hipotenusa. Na figura, para unha hipotenusa unitaria (o radio), o coseno será o segmento verde, é dicir, o coseno terá o valor do cateto contiguo cando a hipotenusa vale a unidade;

$\cos \alpha = \frac{cateto \, \, adxacente}{hipotenusa}$

a función chamada tanxente (abreviada tan, inda que exista unha tendencia a notala como tg, seguindo e segundo a súa grafía en latín, castelán e inglés) relaciona as dúas anteriores: é dicir, é a relación entre o seno e o coseno. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co radio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a tanxente terá o valor do cateto oposto cando o cateto contiguo vale a unidade:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{cateto \, \, oposto}{cateto \, \, adxacente} \frac{\frac{cateto \, \, oposto}{hipotenusa}}{\frac{cateto \, \, adxacente}{hipotenusa}}$ O nome destas funcións procede de que estes segmentos marcados están no interior (no seo, para seno e conseno) ou na tanxente á circunferencia de radio unidade.

[editar] Funcións directas secundarias (ou inversas matemáticamente)

Existen outras tres funcións trigonométricas que teñen o valor inversamente proporcional ás tres anteriores. Os seus nomes son secante, cosecante e cotanxente. Os seus nomes tamén proceden da posición do segmento en relación á circunferencia unidade. Estas inversas son (na figura, o ángulo abrangue tamén a mesma zona gris):

Funcións trigonométricas inversas

a función chamada secante dun ángulo (abreviada sec) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto continuo ó angulo. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de radio unidade da figura, se o cateto contiguo ten valor 1 (o do radio), a secante será o segmento en trazos verdes, é dicir, a secante terá o valor da hipotenusa cando o cateto contiguo vale a unidade;

$\sec \alpha = \frac{hipotenusa}{cateto \, \, adxacente} = {1 \over \cos \alpha}$

a función chamada cosecante dun ángulo (abreviada cosec, inda que en portugués se escriba tamén? con dobre s) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto oposto. Na figura, para un cateto unitario de valor igual ó radio, a cosecante será o segmento en trazos vermellos, é dicir, a cosecante terá o valor da hipotenusa cando o cateto oposto vale a unidade;

$\mbox{cosec} \alpha = \frac{hipotenusa}{cateto \, \, oposto} = {1 \over \sin \alpha}$

a función chamada cotanxente (abreviada cotan, inda que exista tamén unha tendencia a notala como cotg, segundo e seguindo a súa grafía latina, castelá e inglesa) relaciona as dúas anteriores e é inversa da tanxente: é dicir, é a relación entre o coseno e o seno ou entre a secante e a cosecante. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co radio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a cotanxente terá o valor do cateto contiguo cando o cateto oposto vale a unidade:

$\mbox{cotan} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{cateto \, \, adxacente}{hipotenusa}}{\frac{cateto \, \, oposto}{hipotenusa}} = \frac{\sec \alpha}{\mbox{cosec} \alpha} = \frac{cateto \, \, adxacente}{cateto \, \, oposto}$

NOTA: Na linguaxe TeX para editar fórmulas da Galipedia, o codificador de etiquetas non recoñece as funcións cosecante nin cotanxente.

[editar] Funcións inversas, opostas, secundarias ou arcos das funcións ("arcofuncións")

O concepto de inversión nestas funcións opostas non consiste no valor matemáticamente inversamente proporcional segundo a matemática, senón no concepto contrario. O seu argumento son números reais e o seu resultado son os ángulos ou arcos (en radiáns). Debido a isto as funcións teñen por nome a denominación da función directa antecedido do prefixo arco-. Así, existen seis funcións opostas: arcoseno, arcocoseno, arcotanxente, arcosecante, arcocosecante e arcocoanxente.

[editar] Teorema fundamental dos triángulos

Enúnciase como: a suma dos ángulos dun triángulo suma 180º, medida que equivale a π radiáns. Para outros polígonos regulares se pode calcular (e tamén o ángulo interior de cada un dos seus vértices) mediante o seguinte construto baseado neste teorema (as cores son referidas ás da figura):

Cálculo do ángulo dun polígono regular

Se un polígono ten n lados e se busca o centro de simetría radial, se pode unir os n vértices mediante n segmentos (en azul);
Isto produce n triángulos interiores que terán $n \, 180^\circ$
Tendo en conta que a suma dos ángulos que rodean ó centro de simetría é 360º (en vermello), o resto dos ángulos miden en conxunto:

$n \, 180^\circ - 360^\circ = (n-2) \, 180^\circ$

Como o polígono ten n vértices, a cada un corresponderalle:

$\frac{(n-2) \, 180^\circ}{n} = \frac{n-2}{n} 180^\circ = \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) 180^\circ$ (en verde)

Este valor a medida que se vai aumentando (o seu límite cando n tende a infinito) equivale a 180º, que é o valor da tanxente da circunferencia (o polígono de infinitos lados).

[editar] Teorema fundamental da trigonometría

Este teorema está baseado no teorema de Pitágoras e relaciona o seno dun ángulo co seu coseno. A súa demostración é moi doada partindo do dito por Pitágoras e dividíndoo entre o cadrado da hipotenusa ( $cateto_O \,$ é o cateto oposto e $cateto_C \,$ é o cateto contiguo):

$\begin{matrix} \mbox{cateto}_O^2 + \mbox{cateto}_C^2 & = & \mbox{hipotenusa} ^2 & \Rightarrow \\ \frac{\mbox{cateto}_O^2}{\mbox{hipotenusa}^2} + \frac{\mbox{cateto}_C^2}{\mbox{hipotenusa}^2} & = & \frac{\mbox{hipotenusa}^2}{\mbox{hipotenusa}^2} & \Rightarrow \\ \left ( \frac{\mbox{cateto}_O}{\mbox{hipotenusa}} \right )^2 + \left ( \frac{\mbox{cateto}_C}{\mbox{hipotenusa}} \right )^2 & = & 1 & \Rightarrow \\ \cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha & = & 1 \end{matrix}$

[editar] Relacións trigonométricas

Existe unha relación entre as funcións trigonométricas de varios ángulos (restados ou sumados) e as funcións de cada un dos sumandos ou restandos individualmente. Disto dedúcese a relación entre as funcións dun ángulo e o do seu dobre (facendo a suma de si mesmo). Tamén hai unha equivalencia entre a función dun ángulo e o da súa metade.

Funcións trigonométricas dunha diferencia	$\sin {\alpha - \beta} = \sin \alpha \, \cos \beta - \cos \alpha \, \sin \beta$	$\cos {\alpha - \beta} = \cos \alpha \, \cos \beta + \sin \alpha \, \sin \beta$	$\tan {\alpha - \beta} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \, \tan \beta}$
Funcións trigonométricas dunha suma	$\sin {\alpha + \beta} = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta$	$\cos {\alpha + \beta} = \cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta$	$\tan {\alpha + \beta} = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \, \tan \beta}$
Funcións trigonométricas do ángulo dobre (deducibles das anteriores)	$\sin {2 \alpha} = 2 \, \sin \alpha \, \cos \alpha$	$\cos {2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \,$	$\tan {2 \alpha} = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \alpha}$
Funcións trigonométricas do ángulo metade	$\sin {\frac{1}{2} \alpha} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$	$\cos {\frac{1}{2} \alpha} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$	$\tan {\frac{1}{2} \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$
Suma de funcións trigonométricas	$\sin {\alpha} + \sin {\beta} = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \, \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$	$\cos {\alpha} + \cos {\beta} = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \, \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
Resta de funcións trigonométricas	$\sin {\alpha} - \sin {\beta} = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \, \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$	$\cos {\alpha} - \cos {\beta} = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \, \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$