Numerus primus

E Vicipaedia

Sistemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Primi $\mathbb{P}$ {2,3,5,7,11...} Abundantes Amicabiles Composti Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} Rationales $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reales $\mathbb{R}$ {Q U I U Tr} Irrationales $\mathbb{I}$ Algebraici Transcendentes $Tr$ Numerus pi $\pi \approx 3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e\approx 2.718281828459045\ldots$ Complexi $\mathbb{C}$ Numerus imaginarius $i = \sqrt{-1}$ Infinitas $\infty$
Aliae bases
Basis Binaria (2) Basis Octalis (8) Basis Decimalis (10) Basis Hexadecimalis (16)

In mathematicae scientia numerus primus est numerus naturalis maior quam unus cuius divisores positivi sunt tantummodo numerus unus et ille ipse. Si numerus naturalis quidam est maior quam unus sed numerus primus non est tunc ipse denominatur numerus compostus. Numeri primi sunt maximi momenti in theoriae numerorum disciplina et in res criptographicas.

Coniunctus numerorum primorum est infinitus, quemadmodum a praeclaro mathematico Euclide est demonstratum (Elementa, liber IX, prop. 20), et series sic incipit: $\mathbb{P}=\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,\ldots \}$

Index

1 Representatio numerorum naturalium ut productum numerorum primorum
2 Theorema numerorum primorum
3 Loci
4 Nexus externi

[recensere] Representatio numerorum naturalium ut productum numerorum primorum

Theorema fundamentalis arithmeticae affirmat omnes numeros integros positivos uno solum modo ut productum numerorum primorum scribi posse, qua de causa numeros primos esse omnium numerorum generatores videtur. Optime videmus numerum 23244, exempli gratia, sequenti modo scribi posse

$23244 = 2\times 2 \times 3 \times 13 \times 149$

et, permutationibus terminorum exclusis, huius numeri alia factoratio non est.

[recensere] Theorema numerorum primorum

Theorema numerorum primorum est praeclarum theorema a mathematicis Hadamard et de la Vallée Poussin anno 1896 probatum quod numerorum primorum distributionem praeterpropter describit. Sit functio π(x) quae numeros primos aequales aut minores quam x computat, e.g. π(10) = 4 quia sunt quattuor numeri primi minores quam numerus decem, scilicet 2,3,5 et 7. Tunc hoc theorema statuit quod

$\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x}=1$

unde ln(x) logarithmum naturalem numeri x denotat.

Constat autem meliorem functionis π(x) coniectionem esse

$\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)}{{\rm Li}(x)}=1$

unde Li(x) est integralis logarithmica sequens,

${\rm Li} (x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln t} \,$

quemadmodum in sequenti tabula inspicere queamus.

x	π(x)	π(x)/(x/ln(x))	π(x)/Li(x)
10¹	4	1.0857	0.6666
10²	25	0.8688	0.8333
10³	168	0.8620	0.9438
10⁴	1,229	0.8841	0.9863
10⁵	9,592	0.9057	0.9960
10⁶	78,498	0.9225	0.9983
10⁷	664,579	0.9337	0.9994
10⁸	5,761,455	0.9425	0.9998
10⁹	50,847,534	0.9496	0.9999

[recensere] Loci

Propter theorematum difficultatem et pulchritudinem, numeri primi iampridem mathematici maxime commovent. In articulo autem De Numeris Primis Valde Magnis anno 1764 Helveticus mathematicus Leonhardus Eulerus haec de difficultate ordinis numerorum primorum inveniendae verba scripsit:

...videtur enim lex, qua numeri primi progrediuntur, in Arithmetica aeque abstrusae esse indaginis, atque in Geometria circuli quadratura: ac si huius indagatio pro desperata est habenda, non leviores adsunt rationes, quae et ordinis quo numeri primi se invicem sequuntur, cognitionem nos in perpetuum fugere persuadent.