黄金比

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

黄金比（おうごんひ、Golden ratio, The Golden Mean/Rectangle）（＝PHI）は、最も美しいとされる比 $\mathbf{1}:{{\mathbf{1}+\mathbf{\sqrt5}}\over\mathbf{2}}$ 。近似値は1:1.618。線分を a, bの長さで 2 つに分割するときに、a : b = b : (a + b) が成り立つように分割したときの比 a : b のことである。

横と縦の長さの比の値が黄金比の近似値1.618であるような長方形

黄金比の値は、二次方程式 x² = x + 1 の正の解である。しばしばギリシア文字のφ（ファイ）で表されるが、τ（タウ) を用いる場合もある。

$\phi^2 = \phi + 1, \quad$

黄金比は中末比（ちゅうまつひ、Extreme and mean ratio）や外中比（がいちゅうひ）とも呼ばれる。a : b = b : (a + b) が成り立つとき、 a を末項（まっこう、Extreme）、 b を中項（ちゅうこう、Mean）という。

[編集] 黄金比の性質

黄金四角形（辺の長さの比が黄金比になる四角形）の黄金分割：黄金四角形から短辺を一辺とする正方形を取り除いて、残る部分はまた黄金四角形となる。そうして、この長方形は無限個の正方形で埋め尽くされていく。

黄金分割された黄金四角形の辺上で正方形のかどとなる点を滑らかにつないでいくと螺旋が現れる。黄金四角形に内接する螺旋は自然界ではオウムガイの殻の形状としても見られる、という説があるが、これは俗説である。黄金矩形に沿う螺旋もオウムガイの殻に見られる螺旋もともに対数螺旋であるが、螺旋の定数は異なる。

パルテノン神殿の前面図：各部が黄金比をもとに構成されているのがわかる

${{-1 + \sqrt 5 } \over 2} : 1 = 1 : {{1 + \sqrt 5 } \over 2} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} : {{3 + \sqrt 5 } \over 2}.$

上式を小数で表示するなら、およそ 0.618 : 1 ≒ 1 : 1.618 ≒ 1.618 : 2.618 となる。

黄金比は次のような美しい連分数表示をもつ。

$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} = [1;1,1,1,1,\ldots].$

次のような表示ももつ。

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\ldots}}}}}$

フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する。また、 1, φ, φ², φ³, φ⁴, ... という等比数列を考えたとき、1 + φ = φ² を利用すると

φ = φ,

φ² = φ + 1,

φ³ = 2φ + 1,

φ⁴ = 3φ + 2,

φ⁵ = 5φ + 3,

φ⁶ = 8φ + 5,

...

となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。

　黄金比は五角形の中や、歴史的建造物、美術品、準結晶の中に見出すことができる。また、自然界にも表れ、植物の葉の並び方や巻き貝の中にも見つけることができる。ただし、「自然の中に黄金比がある」という説は、調査の結果に基づかない期待や願望の投影であることが多く注意が必要である。黄金比で長さを分けることを黄金比分割または黄金分割という。また、優れた絵画や建築作品には多く黄金比が見られる。

[編集] 黄金比の歴史

伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス (Φειδίας) が初めて使ったと言われる。黄金比の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。
「黄金比」という用語が文献上に初めて登場したのは1835年刊行のドイツの数学者マルティン・オーム（オームの法則で有名なゲオルク・ジーモン・オームの弟）の著書『初等純粋数学』。また、1826年刊行の初版にはこの記載がないことから、1830年頃に誕生したと考えられる。
『ユークリッド原論』では第6巻の定義3で外中比の定義が記されている。
『ユークリッド原論』の第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。

[編集] 黄金比の近似値

1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 ...