Złoty podział
Z Wikipedii
| Niniejszy artykuł jest częścią cyklu stałe matematyczne. |
|
Stałe Lista stałych matematycznych |
Złoty podział, podział harmoniczny — podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.
 |
|
φ = (a+b) : a = a : b |
Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika
czyli
- 1 + 1/φ = φ
Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci kanonicznej równania kwadratowego:
- φ² – φ – 1 = 0
Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:
jedno z nich jest dodatnie:
Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano np. w planach budowli na Akropolu.
Spis treści |
[edytuj] Złota liczba
Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą
Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...
co daje kolejno:
- 0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89... → 1/φ
Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.
Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:
[edytuj] Przykłady
- Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym dzieli je według złotego podziału.
- Bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.
[edytuj] Złoty prostokąt
Jest to prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Wynika to wprost z definicyjnej własności liczby φ – jeśli na początku:
(na rysunku poniżej prostokąt oznaczony kolorem czerwonym), to po dobudowaniu kwadratu na dłuższym boku (zaznaczony na czarno) otrzymuje się prostokąt o bokach a+b i a:
Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od (dużego) złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta (czarny) otrzymuje się prostokąt (czerwony), którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.
Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.
[edytuj] Przykład konstrukcji
Powyżej zilustrowano jeden z wielu sposobów wyznaczenia złotego podziału. Kolejne kroki konstrukcji:
- Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku a.
- Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku).
- Weź odcinek łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek c) i odłóż go ze środka boku na prostej, w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu).
- Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość b.
Długości początkowego odcinka a i znalezionego b pozostają w złotym stosunku, a/b=φ, wyznaczają więc złoty podział skonstruowanego mimochodem odcinka a+b.
Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji
Znaleziony w trzecim kroku odcinek c jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i a/2. Na mocy twierdzenia Pitagorasa:
zatem jego długość:
Odkładając odcinek c w prawo ze środka boku kwadratu otrzymaliśmy odcinek:
zaś za b przyjęliśmy część (czerwoną) pozostałą po skróceniu o odcinek a (czarny):
czyli:
Stosunek długości a:b wynosi:
czyli równy jest złotej liczbie. Konstrukcja prowadzi więc do złotego podziału.
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- liczby Fibonacciego,
- lista stałych matematycznych,
- złoty kąt,
- kanon (sztuka).
