フィボナッチ数

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フィボナッチ数列の各項を一辺とする正方形

フィボナッチ数とは、

$F_1 = 1, F_2 = 1 \,$

$F_{n+2} = F_n + F_{n+1} \quad (n \ge 1)$

で定義されるフィボナッチ数列の各項の数

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

である。フィボナッチ数列のどの項も、その前の2つの項の和となっている。

[編集] 兎の問題

この数列は通称レオナルド・フィボナッチにより考案された次の問題から導かれる。

兎の問題: 1つがいの兎は、産まれて2ヶ月後から毎月1つがいずつの兎を産む。; 1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？

この条件のもとで、つがいの数は次の表のようになる。

	産まれたつがい	1ヶ月目のつがい	2ヶ月目以降のつがい	つがいの数（合計）
0ヶ月目	1	0	0	1
1ヶ月目	0	1	0	1
2ヶ月目	1	0	1	2
3ヶ月目	1	1	1	3
4ヶ月目	2	1	2	5
5ヶ月目	3	2	3	8
6ヶ月目	5	3	5	13
7ヶ月目	8	5	8	21
8ヶ月目	13	8	13	34
9ヶ月目	21	13	21	55
10ヶ月目	34	21	34	89
11ヶ月目	55	34	55	144
12ヶ月目	89	55	89	233

どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることがわかる。

[編集] 一般項

フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} = {{\phi^n - (-\phi)^{-n}} \over \sqrt{5}}$

ただし、

$\phi \equiv \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1.618033988749895$

は黄金比。
次の近似式は F_n の値を0.28以下（n > 4 のとき1 %以下）の誤差で与える。

$F_n = {\phi^n \over \sqrt{5}}$
したがって、F_nの正確な整数値は以下の式で与えられる。

$F_n = \left\lfloor {\phi^n \over \sqrt{5}} + \frac{1}{2} \right\rfloor$

ただし、 $\lfloor x\rfloor$ は床関数。
フィボナッチ数列の漸化式は次のように行列表現できる:

${F_{n + 2} \choose F_{n + 1}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{n + 1} \choose F_n}$

ゆえに

$\begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n$

[編集] 性質

隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比 φ に収束する。

$\lim_{n \to \infin} {F_n \over F_{n-1}} \to \phi$

導出:

$x = \lim_{n \to \infin}{F_n \over F_{n-1}}$ とおけば、

$x = \lim_{n \to \infin} \frac{F_{n-1} + F_{n-2}}{F_{n-1}} = \lim_{n \to \infin} \left( 1 + \frac{1}{ F_{n-1} / F_{n-2} } \right) = 1 + \frac{1}{x}$

$x^2-x-1=0\,$

p と q の最大公約数が r であるならば F_p と F_q の最大公約数は F_r である。
このことより以下を導くことができる。
- m が n で割り切れるならば、F_m は F_n で割り切れる。
- 連続する2数は互いに素であることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。
フィボナッチ数の累和や累積について以下の式が成り立つ:

$F_1 + F_2 + F_3 + ... + F_n = F_{n+2} - 1 \,$

$F_1 + F_3 + F_5 + ... + F_{2n-1} = F_{2n} \,$

$F_2 + F_4 + F_6 + ... + F_{2n} = F_{2n+1} - 1 \,$

${F_1}^2 + {F_2}^2 + {F_3}^2 + ... + {F_n}^2 = F_n F_{n+1}$

$F_{n-1} F_{n+1} - {F_n}^2 = (-1)^n$

[編集] その他の話題

ヒマワリの種の数をらせんに沿って数えてゆくとフィボナッチ数があらわれる。

フィボナッチ数は自然界の現象に数多く出現する。
- 葉序（植物の葉の付き方）はフィボナッチ数と関連している。
- 蜜蜂の家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる。

[編集] 最初の50項

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025

[編集] トリボナッチ数

トリボナッチ数とは、次のように定義されるトリボナッチ数列に現れる数のことである。

$T_1 = 1,\ T_2 = 1,\ T_3 = 2$

$T_{n+3} = T_n + T_{n+1} + T_{n+2} \quad (n \ge 1)$

フィボナッチ数列が「前の2項の和」なのに対し、トリボナッチ数列は「前の3項の和」である。

最初のいくつかの項は、次のようになる。

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, ...

トリボナッチ数列の一般項は次で表される。

$T_n = \frac{\beta\gamma - \beta - \gamma + 2}{(\beta - \alpha)(\gamma - \alpha)}\alpha^{n-1} + \frac{\gamma\alpha - \gamma - \alpha + 2}{(\gamma - \beta)(\alpha - \beta)}\beta^{n-1} + \frac{\alpha\beta - \alpha - \beta + 2}{(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)}\gamma^{n-1}$

ただし、α, β, γ は方程式 x³ - x² - x - 1 = 0 の3解

$\alpha = \frac{1}{3} \left(1 + \sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right)$

$\beta = \frac{1}{3} \left(1 + \omega \sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \bar{\omega} \sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right)$

$\gamma = \frac{1}{3} \left(1 + \bar{\omega} \sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \omega \sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right)$

である。ただし、

$\omega \equiv \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$

は1の虚の立方根の1つ。

また、上の3つの根のうち、実数解αのことをトリボナッチ定数という。これはフィボナッチ数列の黄金比にあたる定数で、トリボナッチ数列の隣り合う2項間の比は、トリボナッチ定数に収束する。

$\lim_{n \to \infin} {T_n \over T_{n-1}} \to \alpha \simeq 1.839286755214162$

[編集] テトラナッチ数

テトラナッチ数は、トリボナッチ数列と同様に次のように定義される、テトラナッチ数列に現れる数のことである。

$T_1 = 1,\ T_2 = 1,\ T_3 = 2,\ T_4 = 4$

$T_{n+4} = T_n + T_{n+1} + T_{n+2} + T_{n+3} \quad (n \ge 1)$

フィボナッチ数列が「前の2項の和」、トリボナッチ数列が「前の3項の和」なのに対し、テトラナッチ数列は「前の4項の和」である。

最初のいくつかの項は、次のようになる。

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, ...

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

中村滋『フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス）―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社 ISBN 4535782814
R.A.ダンラップ『黄金比とフィボナッチ数』日本評論社 ISBN 4535783705
佐藤修一『自然にひそむ数学―自然と数学の不思議な関係』講談社ブルーバックス ISBN 406257201X
Thomas Koshy, "Fibonacci and Lucas Numbers (Pure and Applied Mathematics (Wiley))", Wiley-Interscience ISBN 0471399698
Leonardo Pisano Fibonacci, "The Book of Squares", Academic Press ISBN 0126431302
Laurence Sigler, "Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation (Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences)", Springer-Verlag ; ISBN 0387407375 ISBN 0387954198