Proporção áurea

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Proporção áurea

A Proporção Áurea ou Número de Ouro ou Número Áureo é uma constante real algébrica irracional. Número tal, que há muito tempo é empregado na arte. Também é chamada de: razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão.

Muito frequente é a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi (π), quociente da divisão do comprimento de uma circunferência pela medida do seu respectivo diâmetro), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.

Justamente por estar envolvido no crescimento, este número se torna tão freqüente. E justamente por haver esta freqüência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar deste status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.

[editar] Cálculo do Número $\varphi$

[editar] Definição Algébrica

A razão áurea é definida algebricamente como

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.$

A equação da direita mostra que $a=b\varphi$ , o que pode ser substituído na parte esquerda. Temos, assim

$\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.$

Cancelando b em ambos os lados, temos

$\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.$

Multiplicando ambos os lados por $\varphi$ nos dá

$\varphi+1=\varphi^2.$

Finalmente, arrumando os termos da equação, encontramos

$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$ , que é uma equação quadrática da forma $ax^2 + bx + c = 0\,\!$ , em que $\,\!a=1,\ b=-1\ e\ c=-1$ .

Agora, basta resolver esta equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\!$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}\,\!$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}\,\!$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\,\!$

A única solução positiva desta equação quadrática é

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\,033\,989\,.$ , que é o número $\varphi$ .

[editar] Seqüência de Fibonnaci

Como é um número extraído da seqüência de Fibonacci, representa diretamente uma constante de crescimento.

O número áureo é retirado das sucessivas divisões a partir do terceiro número desta sucessão numérica pelos seus antecessores. Os valores de tais divisões ficam oscilando em volta do número de ouro, porém a cada nova divisão os valores tornam-se cada vez mais próximos de 1,618, que é o valor da proporção áurea, ou seja, os resultados destas divisões convergem para o número áureo.

$\frac{2}{1}= 2$

$\frac{3}{2}= 1,5$

$\frac{5}{3}= 1,666...$

$\frac{8}{5}= 1,6$

$\frac{13}{8}= 1,65$

[editar] Série de Frações

O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas. Normalmente representadas com [a,b,c,d,e], que resulta em

$a + \frac{1}{ b + \frac{1}{ c + \frac{1}{d + \frac{1}{e} } } }$

A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.

$[1,1] = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2.$

$[1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} } = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5.$

$[1,1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} }} = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = 1,666.$

$[1,1,1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1} } } } = 1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} = 1,6.$

[editar] Série de Raízes

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{+1+\sqrt{1+...}}}}$

[editar] Origem do nome

Phi, tem este nome em homenagem ao arquiteto grego Phidias, construtor do Parthenon e que utilizou o número de ouro em muitas de suas obras.

[editar] Proporção Áurea na Natureza

Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano e no universo.

Este número, assim como outros, por exemplo o Pi, estão presentes no mundo por uma razão matemática existente na natureza.

Essa seqüência aparece na natureza, no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.

[editar] Figuras Geométricas

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação dourada com o raio da circunferência.

O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.

Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.

Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.

[editar] Vegetais

Semente de Girassol – A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol;

Achillea ptarmica – Razão do crescimento de seus galhos.

Folhas das Árvores – A proporção em que se diminuem as folhas de uma arvore a medida que subimos de altura.

[editar] Animais

População de Abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.
Concha do Caramujo Náutilo – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras pra poder regular a profundidade de sua flutuação.
Outros – phi está também nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.

[editar] Corpo Humano

O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As idéias de proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana

Proporções áureas em uma mão

A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho ao chão.

Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.

[editar] Aplicações

O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, nos projetos arquitetônicos e até mesmo na música.

[editar] Arte

A proporção áurea foi muito usada na arte, em em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Esta proporção estaria ali aplicada pelo motivo do autor representar a perfeição da beleza.

Na história da arte renascentista a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nesta constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção os dava de retratar a realidade com mais perfeição.

A Mona Lisa de Leonardo da Vinci utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto.

[editar] Literatura

Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos último dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.

[editar] Retângulo Dourado

Proporção áurea em retângulos

Trata-se do retângulo no qual a proporção entre o comprimento e a largura é aproximadamente o número Phi, ou seja, 1,618, que reflete, inclusive, as proporções do Parthenon.

[editar] Arquitetura

[editar] Pirâmides do Egito

Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides. Por exemplo, cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nivel a cima. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maior que as larguras.

[editar] Parthenom

Parthenom é construção grega que resistiu parcialmente ao tempo e onde são notadas inúmeras presenças da razão áurea.

[editar] Música

O número de ouro está presente nas famosas sinfonias como a 5ª e 9ª de Bethoven e em outras diversas obras.

[editar] Objetos Atuais

Atualmente essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram "respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um Cartão de Crédito, alguns livros, Jornal, uma foto revelada, entre outros.

[editar] Efeitos

Algumas correntes místicas acreditam que objetos cujas dimensões sejam relacionadas a Phi, harmonizam-se com a glândula pineal, o que provocaria ou estimularia uma sensação de beleza e harmonia no ser humano.

[editar] Ver também

O Wikimedia Commons possui multimedia sobre Proporção áurea

[editar] Referências

LIVIO, Mario. Razão áurea: a história do fi. São Paulo : Record. 336 pp.

[editar] Ligações externas

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../p/r/o/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea.html"

Categorias: Números | Constantes matemáticas

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Índice

[editar] Cálculo do Número $\varphi$

[editar] Definição Algébrica

[editar] Seqüência de Fibonnaci

[editar] Série de Frações

[editar] Série de Raízes

[editar] Origem do nome

[editar] Proporção Áurea na Natureza

[editar] Figuras Geométricas

[editar] Vegetais

[editar] Animais

[editar] Corpo Humano

[editar] Aplicações

[editar] Arte

[editar] Literatura

[editar] Retângulo Dourado

[editar] Arquitetura

[editar] Pirâmides do Egito

[editar] Parthenom

[editar] Música

[editar] Objetos Atuais

[editar] Efeitos

[editar] Ver também

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