Gulden snede

De gulden snede geeft een verhouding weer die veelvuldig in de natuur wordt aangetroffen. Deze deelt een lijn of lengte zodanig in twee ongelijke delen, dat de verhouding van het kleine tot het grote deel dezelfde is als die van het grote deel tot het geheel.

Als men een rechthoek neemt met zijden a en b, die overblijft na verwijdering van het vierkant met zijde a, zodanig dat deze gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek, dan wordt de verhouding a/b de gulden snede genoemd.

[bewerk] De gulden snede in de cultuur

In de klassieke architectuur wordt deze verhouding gezien als de meest "aangename", een opvatting die we ook tegenkomen bij latere architectonische stijlen zoals de gotiek. Voorbeelden zijn het Parthenon op de Akropolis, het theater van Epidaurus (de verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes) en de kathedraal van Laon.
Ook in de klassieke schilderkunst en in de fotografie wordt de gulden snede toegepast: in de compositie van het schilderij of foto, maar ook bij de bepaling van de locatie van het aandachtspunt. Van nature zoekt het oog deze plek op. In een rechthoekig vlak kan dit punt op vier plaatsen gevonden worden (rechts boven, links boven, links onder, rechts onder).
Ook bij het bouwen van bijvoorbeeld muziekinstrumenten wordt dankbaar gebruikgemaakt van dit gegeven, om te proberen de juiste verhoudingen te vinden.
Rechthoeken met deze verhouding en de bijbehorende vierkanten komen veelvuldig voor in het schilderwerk van Piet Mondriaan. Overigens heeft Mondriaan, naar eigen zeggen, nooit gerekend aan zijn werken.
De renaissancetuinen van bijvoorbeeld André Le Nôtre zijn ingericht volgens de gulden snede.
Ook figuratieve beelden, zoals die van Rodin, Paul Grégoire en Eddy Roos, voldoen aan de maatvoering van de gulden snede.
De Vitruviaanse mens is door Leonardo da Vinci getekend met het ideale mannelijke lichaam gebaseerd op een pentagon met deze verhoudingen.

[bewerk] Constructie

Euclides heeft aangegeven hoe een lijnstuk verdeeld dient te worden om de gulden snede te verkrijgen:

waarbij:

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

ofwel $\frac{|AS|}{|SB|}=\frac{|AB|}{|AS|}$

De verhouding a/b wordt aangeduid met $\varphi$ , het zogenaamde gulden getal.

Hieruit volgt $\varphi = 1 + 1/\varphi$ , ofwel de vierkantsvergelijking $\varphi^2 - \varphi - 1 =0$ , met de positieve oplossing $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887499...$

Opmerking: behalve $\varphi$ heeft de vergelijking ook de negatieve oplossing $-1/\varphi$ .

De verhouding $\varphi$ is ook als volgt te construeren:

Neem een vierkant ABCD. Zij E het midden van AB. Teken een cirkel met middelpunt E en straal EC. Zij G het snijpunt van het verlengde van AB en de cirkel.

Nu blijkt te gelden: $\frac{AB}{BG}=\varphi$ , immers

$\frac{AB}{BG}=\frac{AB}{EG-EB}=\frac{AB}{EC-EB}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$ .

[bewerk] Wiskundige benaderingen

De waarde van φ wordt benaderd door de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci.

Vervangen we aan de rechterzijde van φ = 1 + 1/φ telkens φ door 1 + 1/φ dan vinden we de kettingbreuk:

$\phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}$

Dit komt, net als de rij van Fibonacci, meetkundig neer op, uitgaande van een willekeurige rechthoek, het telkens een vierkant aan de lange zijde van de rechthoek tekenen, waardoor φ steeds beter benaderd wordt door de verhoudingen van de zijden van de resulterende totale rechthoek.

Bijzondere getallen

Bevriende getallen · Bijna perfect getal · Constante van Gelfond · Constante van Kaprekar · e · Fermatgetal · Gebrekkig getal · Getal van Graham · Gulden snede · Illegaal priemgetal · Kaprekargetal · Mersennepriemgetal · Natuurlijk getal · Overvloedig getal · Perfect getal · Pi · Priemgetal · Priemtweeling · Quasiperfect getal · Samengesteld getal · Semiperfect getal · Sphenisch getal