Numero razionale

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In matematica, un numero razionale è un numero reale ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione.

Storicamente, i numeri razionali sono stati introdotti prima dei numeri reali, per permettere l'operazione di divisione fra numeri interi. I numeri razionali formano un campo, indicato con Q oppure $\mathbb Q$ .

In fisica, il risultato di una misurazione è solitamente esprimibile come numero razionale, dipendente dalla precisione dello strumento.

Indice

1 Aritmetica
- 1.1 Operazioni
- 1.2 Descrizioni diverse dello stesso numero
2 Scrittura decimale
3 Numeri irrazionali
4 Struttura algebrica
5 Costruzione formale
6 Proprietà
7 Voci correlate

[modifica] Aritmetica

[modifica] Operazioni

La somma ed il prodotto di due numeri razionali vengono calcolati nel modo seguente.

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Ne segue che l'inverso per la somma e la moltiplicazione vengono calcolati così:

$- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ se } a \neq 0$

[modifica] Descrizioni diverse dello stesso numero

Un numero razionale può essere descritto come frazione in modi diversi: le frazioni $\frac a b$ e $\frac c d$ rappresentano lo stesso numero razionale se e solo se $a d = b c$ . In effetti si ottiene

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc$

moltiplicando entrambi i membri per $b d$ .

Ogni numero razionale è rappresentato da un'unica frazione $\frac a b$ ridotta ai minimi termini, cioè tale che il massimo comune divisore tra $a$ e $b$ sia un'unità, e $b$ sia positivo.

Due frazioni che individuano lo stesso numero razionale sono dette equivalenti. Evidentemente, per ogni intero k diverso da zero le frazioni $\frac{a}{b}$ e $\frac{ka}{kb}$ sono equivalenti: quindi ogni numero razionale può essere espresso da infinite frazioni. Ad esempio 3/6 = 2/4 = 1/2.

[modifica] Scrittura decimale

Come tutti i numeri reali, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il sistema numerico decimale. Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere periodico: un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (detta periodo) che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.

Ad esempio:

$1/3 = 0,\bar 3 = 0,333...$ (si ripete il periodo "3" all'infinito)

$50/41 = 1, \overline{21951} = 1,219512195121951...$

$3/4 = 0,75\bar 0 = 0,75000... = 0,75$

$1 = 1,\bar 0 = 1,00000...$

Un numero razionale può essere descritto quindi sottolineando il periodo, come in questi esempi.

[modifica] Numeri irrazionali

Per approfondire, vedi la voce numero irrazionale.

Un numero reale che non è razionale è detto irrazionale. Un numero irrazionale quindi non è rappresentabile in forma decimale periodica. Ad esempio, il numero

0,12 122 1222 12222... (dove la sequenza di "2" è sempre più lunga)

è irrazionale. Altri numeri irrazionali importanti in matematica sono $\sqrt{2}$ e pi greco.

[modifica] Struttura algebrica

Munito di somma e prodotto, l'insieme $\mathbb{Q}$ ha la struttura algebrica di un campo. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1.

Molti oggetti matematici, come i polinomi o gli spazi vettoriali, nella loro definizione fanno riferimento ad un campo. L'aggettivo "razionale" attribuito ad uno di questi oggetti è spesso usato per specificare che il campo scelto è quello dei numeri razionali. Per esempio si dice polinomio razionale ogni polinomio i cui coefficienti sono solo numeri razionali.

[modifica] Costruzione formale

Da un punto di vista formale, i numeri razionali vengono definiti a partire dai numeri interi nel modo seguente. I numeri razionali sono una classe di equivalenza di coppie ordinate di numeri interi $(a, b)$ , con $b$ diverso da zero. La relazione di equivalenza è la seguente

$\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ se e solo se } ad = bc$

La somma ed il prodotto di questi elementi è quindi definita nel modo seguente:

$\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)$

$\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)$

Si verifica che entrambe le operazioni sono compatibili con la relazione di equivalenza. L'insieme quoziente di questa relazione è quindi Q.

Possiamo definire anche un ordine totale su Q nel modo seguente:

$\left(a, b\right) \le \left(c, d\right) \mbox{ se e solo se } (bd>0\mbox{ e } ad \le bc)\mbox{ oppure }(bd<0\mbox{ e } ad \ge bc)$

[modifica] Proprietà

L'insieme Q è numerabile.
I numeri razionali Q sono un campo.
La chiusura algebrica di Q è formata dai numeri algebrici.
L'insieme Q è denso nell'insieme R dei numeri reali, ma ha misura di Lebesgue nulla, perché numerabile.