Teoria dei campi
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La teoria dei campi è una branca della matematica che studia le proprietà dei campi. Un campo è un'entità matematica per la quale addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono ben definite.
Vedi Glossario di teoria dei campi per alcune definizioni basilari in teoria dei campi.
Indice |
[modifica] Storia
Il concetto di campo è stato usato implicitamente da Niels Henrik Abel e Evariste Galois nel loro lavoro sulla risolubilità delle equazioni.
Nel 1871 Richard Dedekind chiamò un insieme di numeri reali o complessi chiuso rispetto alle quattro operazioni "campo".
Nel 1881, Leopold Kronecker definì quello che chiamò "dominio di razionalità", che in effetti è, in termini moderni, un campo di polinomi.
Nel 1893, Heinrich Weber diede la prima definizione chiara di campo astratto.
Galois, che non aveva il termine "campo" in mente, è onorato per essere stato il primo matematico a collegare la teoria dei gruppi e la teoria dei campi. La teoria di Galois prende il nome da lui. Comunque, è stato Emil Artin a sviluppare per primo la relazione fra i gruppi e i campi in dettaglio durante gli anni 1928-1942.
[modifica] Introduzione elementare
Il concetto di campo è stato usato inizialmente per provare che non esiste una formula generale per le radici dei polinomi reali di grado maggiore di 4.
Il concetto centrale della teoria di Galois è l'estensione algebrica di un campo sottostante. È semplicemente il più piccolo campo contenente il campo sottostante e una radice di un polinomio. Un campo algebricamente chiuso è un campo in cui ogni polinomio ha una radice. Ad esempio, il campo dei numeri algebrici è la chiusura algebrica del campo dei numeri razionali e il campo dei numeri complessi è la chiusura algebrica dei numeri reali.
I campi finiti sono usati nella teoria dei codici. Ancora l'estensione algebrica è uno strumento importante.
I campi binari, cioè campi con caratteristica 2, sono utili in informatica. Sono studiati solitamente come caso eccezionale nella teoria dei campi finiti perché l'addizione e la sottrazione sono la stessa operazione.
[modifica] Alcuni teoremi utili
- Teorema di estensione dell'isomorfismo
- Teorema dell'elemento primitivo
[modifica] Voci correlate
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Numeri: Naturale · Intero · Razionale · Algebrico · Reale · Complesso Algebra elementare: Numero primo · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Equazione · Disequazione · Polinomio · Aritmetica modulare |
