Algebra elementare

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L'algebra elementare è il più semplice tipo di algebra insegnata agli studenti che si presume non abbiano nessuna conoscenza della matematica oltre ai principi di base dell'aritmetica. Mentre in aritmetica compaiono solo numeri specifici (in pratica solo numeri interi e razionali) e le operazioni aritmetiche (come +, −, ×, ÷), in algebra si usano anche dei simboli (come a, x, y) per indicare numeri reali o complessi tendenzialmente arbitrari. Ciò è di grande utilità perché:

Consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali
Consente di riferirsi a numeri "sconosciuti" e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero x tale che $3\cdot x + 2 = 10$ )
Consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono x biglietti, allora il profitto sarà $10 x - 5$ euro")

Nell'algebra, una espressione può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono $a + 3$ e $x 2 - 3$ . Una equazione è l'affermazione che due espressioni siano uguali. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio $a + (b + c) = (a + b) + c$ ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei valori che rendono vera l'equazione: $x 2 - 1 = 4$ . Essi sono le soluzioni dell'equazione.

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari, come

2 x + 3 = 10

La tecnica fondamentale è quella di aggiungere, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della x. Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo

2 x = 7

e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione

$x = \frac{7}{2}$

Equazioni come

$x^{2} + 3x = 5 \,$

sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

(x - 1) 2 = 0 y

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

4 x + 2 y = 14

2 x - y = 1

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

4 x + 2 y = 14

4 x - 2 y = 2

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

8 x = 16

In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

4 x + 2 y = 14

Sostituiamo 2 al posto di x.

4(2) + 2 y = 14

Semplifichiamo

8 + 2 y = 14

2 y = 6

E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).

[modifica] Leggi di algebra elementare

L'addizione è un'operazione commutativa.
- La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
- Sottrarre equivale ad aggiungere un numero negativo:

a - b = a + ( - b)

La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
- La divisione è l'inverso della moltiplicazione.
- Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:

${a \over b} = a \left( {1 \over b} \right)$

L'esponenziazione non è un'operazione commutativa.
- L'esponenziazione ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice (o l'esponenziazione per il reciproco).
  - Esempi: se $3 x = 10$ allora $x = log 310$ . Se $x 2 = 10$ allora $x = 10 1 / 2$ .
- La radice quadrata di -1 è i.
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: $c (a + b) = c a + c b$ .
La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: $(a b) c = a c b c$ .
Come combinare gli esponenti: $a b a c = a b + c$ .
Se a = b e b = c, alloran $a = c$ (transitività dell'uguaglianza).
$a = a$ (riflessività dell'uguaglianza).
Se $a = b$ allora $b = a$ (simmetria dell'uguaglianza).
Se a = b e c = d allora a + c = b + d.
- Se $a = b$ allora $a + c = b + c$ per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se a = b e c = d allora ac = bd.
- Se $a = b$ allora $a c = b c$ per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
Se $a > b$ e $b > c$ allora $a > c$ (transitività della disuguaglianza).
Se $a > b$ allora $a + c > b + c$ per ogni c.
Se $a > b$ e $c > 0$ allora $a c > b c$ .
Se $a > b$ e $c < 0$ allora $a c < b c$ .