Limite di una funzione

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In matematica, il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica.

Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e di punto di discontinuità. Serve inoltre a definire la derivata ed è quindi basilare per tutto il calcolo differenziale.

Il limite di una funzione $f$ in un punto $x 0$ indica il valore "a cui si avvicinano sempre di più" i valori dei punti vicini. Viene indicato con il simbolo

$\lim_{x\to x_0} f(x).$

Un concetto analogo, ma differente, è quello di limite di una successione. In entrambi i casi si analizza il comportamento di un oggetto matematico che "si avvicina" ad un dato valore: mentre in una successione l'oggetto matematico è un insieme discreto di punti, in una funzione questo è un insieme continuo.

[modifica] Definizione

[modifica] Limite di una funzione

Limite di una funzione in

x 0

Siano dati una funzione

$f: X \rightarrow \R$

definita su un sottoinsieme $X$ della retta reale $\R$ ed un punto di accumulazione $x 0$ di $X$ .

Un numero reale $l$ è il limite di $f (x)$ per $x$ tendente a $x 0$ se la distanza fra $f (x)$ ed $l$ è arbitrariamente piccola quando $x$ si avvicina a $x 0$ .

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi $| x - x 0 |$ è la distanza fra $x$ e $x 0$ e $| f (x) - l |$ è la distanza fra $f (x)$ ed $l$ . Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente, $l$ è limite se

Per ogni numero reale $ε > 0$ esiste un altro numero reale $δ$ tale che

| f (x) - l | < ε

per ogni

x

X

con

0 < | x - x 0 | < δ

In questo caso si scrive

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l.$

Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente: $l$ è limite se

Per ogni intorno $U$ di $l$ in $\R$ esiste un intorno $V$ di $x 0$ in $\R$ tale che

f (x)

appartiene a

U

per ogni $x \neq x_0$ in $V \cap X$ .

Il valore $x 0$ non è necessariamente contenuto nel dominio di $f$ . Il valore è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di $f$ in punti arbitrariamente vicini ad $x 0$ ma non dal valore che $f$ assume in $x 0$ .

[modifica] Estensione al caso infinito

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui $x 0$ e/o $l$ sono infiniti.

La funzione $f$ ha limite infinito $l =+\infty$ in un punto finito $x 0$ se

Per ogni numero reale $N > 0$ esiste un altro numero reale $δ > 0$ tale che

f (x) > N

per ogni

x

X

con

0 < | x - x 0 | < δ

In questo caso si scrive

$\lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty.$

Analogamente si definisce il limite $-\infty$ sostituendo $f (x) > N$ con $f (x) < N$ .

Il limite per $x\to +\infty$ è

L

Per definire il limite per $x_0 = +\infty$ , è ancora necessario che $x_0=+\infty$ sia "punto di accumulazione" per il dominio $X$ : questo si traduce nella richiesta che $X$ contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:

$\sup X = +\infty.$

In questo caso, un numero finito $l$ è limite di $f$ per $x\to +\infty$ se:

Per ogni numero reale $ε > 0$ esiste un altro numero reale $S > 0$ tale che

| f (x) - l | < ε

per ogni

x

X

con

x > S

In questo caso si scrive

$\lim_{x\to+\infty}f(x) = l.$

Analogamente si definisce il limite per $x \to -\infty$ , sostituendo $S > 0$ con $S < 0$ .

Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi $x 0$ ed $l$ sono infiniti. La funzione $f$ ha limite $+ \infty$ per $x\to+\infty$ se

Per ogni numero reale $N > 0$ esiste un altro numero reale $S > 0$ tale che

f (x) > N

per ogni

x

X

con

x > S

In questo caso si scrive

$\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.$

Si definiscono analogamente i casi in cui $x_0=-\infty$ e/o $l=-\infty$ .

[modifica] Retta estesa e definizione generale

Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale $\R$ alla retta reale estesa

$\reals^* = \reals \cup \lbrace -\infty, +\infty \rbrace$

ottenuta aggiungendo due punti $-\infty$ e $+\infty$ . La retta reale estesa è un insieme ordinato ed uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di $+\infty$ sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta $(a,+\infty )$ , per qualche $a$ .

In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo $\R$ con $\R^*$ nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi

$f: X \to \R^*$

una funzione definita su un insieme $X$ di $\R^*$ , e sia $x 0$ un punto di accumulazione per $X$ . Un valore $l$ in $\R^*$ è limite di $f$ in $x 0$ se

Per ogni intorno $U$ di $l$ in $\R^*$ esiste un intorno $V$ di $x 0$ in $\R^*$ tale che

f (x)

appartiene a

U

per ogni $x \neq x_0$ in $V \cap X$ .

[modifica] Terminologia

Se una funzione ha limite zero in $x 0$ , questa si dice infinitesima in $x 0$ . D'altro canto, se ha limite $\pm\infty$ è detta divergente.

Se $x 0$ è contenuto nel dominio $X$ di $f$ , e se vale

$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$

allora la funzione è continua in $x 0$ . La nozione di continuità è molto importante un matematica: intuitivamente, una funzione continua in $x 0$ ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, ma può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio. Altrimenti, la funzione ha in $x 0$ un punto di discontinuità.

[modifica] Esempi

La funzione $f (x) = x 2$ è continua in $x 0 = 3$ , perché il suo valore $f (3) = 3 2 = 9$ coincide con il valore ottenuto come limite:

$\lim_{x \to 3}x^2=9$
Quanto $x$ diventa molto grande, il valore $1 / x$ diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:

$\lim_{x\to\infty}\frac 1x = 0$
Quando $x$ diventa molto grande, il valore $x 3$ diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a $+\infty$ :

$\lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty$
La funzione seno oscilla indefinitivamente fra $- 1$ e $+ 1$ , e quindi non tende a nessun limite preciso per $x\to\infty$ :

$\lim_{x\to+\infty} \sin x = {\rm indefinito}$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Esempi

[modifica] Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto $x 0$ della retta estesa $\R^*$ è un intervallo del tipo $[x 0, x 0 + r [$ con $r > 0$ . Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo $] x - r, x]$ . In particolare, gli intorni di $+\infty$ sono tutti sinistri e quelli di $-\infty$ sono destri.

A questo punto, sia

$f:X\to\R$

con $x 0$ punto di accumulazione per $X$ . Un valore $l$ della retta estesa è limite destro per $f$ in $x 0$ se

Per ogni intorno $U$ di $l$ esiste un intorno destro $V +$ di $x 0$ tale che

f (x)

appartiene a

U

per ogni

x

in $V^+ \cap X$ .

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come

$\lim_{x \to x_0^+} f(x), \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x).$

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno $U$ di $l$ con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:

$l^+ = \lim_{x \to x_0} f(x), \quad l^- = \lim_{x \to x_0} f(x)$ .

[modifica] Teorema di unicità del limite

Teorema: Teorema di unicità del limite

Sia

$\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \,\!$ e $\lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \!$

allora

$l_1 = l_2 \!$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

[modifica] Teorema di limitatezza locale

Teorema: Teorema di limitatezza locale

Sia

$f: X \subseteq \R \to \R \!$

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l \in \R \!$

allora esistono, un intorno $V \!$ di $x_0 \!$ e un numero

$M > 0, M \in \R \!$

tali che

$|f(x)| < M , \forall x \in V \cap X \setminus \{x_0\} \!$

[modifica] Teorema di esistenza del limite

Teorema: Teorema di esistenza del limite

Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite

$\lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!$

è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = l \implies \lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!$

[modifica] Teorema della permanenza del segno

Teorema: Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia $f: X \subseteq \R \to \R\!$ e $x_0, l \in \R^* \!$ con $x_0 \!$ di accumulazione per $X \!$ , allora

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l >0\,(<0) \Rightarrow f(x)>0\,(<0) \mbox{ per } x \to x_0 \!$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

[modifica] Corollari

Corollario: Teorema della permanenza del segno

Sia $f: X \subseteq \R\to\R \!$ e $I(x_0) \!$ un intorno di $x_0\!$ di accumulazione per $X \!$ .

$f(x) \geq g(x) \forall x \in I(x_0) \cap X \backslash \{ {x_0} \} \!$

e se

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l_1 \!$

$\lim_{x \to x_0}g(x) = l_2 \!$

allora

$l_1 \geq l_2$

[modifica] Teorema "dei carabinieri"

Teorema: Teorema dei carabinieri

Siano

$f, g , h: X \subseteq \R \rightarrow \R \qquad f, g, h \in C^0(X;\R) \!$

e $x_0 \!$ un punto di accumulazione per $X \!$ .

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l \!$

e se esiste un intorno $U \!$ di $x_0 \!$ tale che risulti

$f(x) \le g(x) \le h(x) \qquad \forall x \in U \cap X\backslash \left \{ x_0 \right \} \!$

allora

$\lim_{x \to x_0} g(x) = l \!$

La curiosa denominazione è dovuta ad un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (le funzioni f ed h) che conducono in arresto un prigioniero (la funzione g): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri, ossia la prigione (il limite comune delle funzioni f ed h). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche "Teorema del Sandwich".

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

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[modifica] Calcolo dei limiti

[modifica] Teoremi

I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia $f: X_f \subseteq \R \to \R,\,g: X_g \subseteq \R \to \R,\,X_f \cap X_g \ne \varnothing \!$ e $x_0 \!$ un punto di accumulazione per $X_f,\,X_g \!$ .

$\exists \lim_{x \to x_0}f(x) = l_1 \mbox{ e } \exists \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2 \!$

allora

$\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad c \in \R \!$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2 \!$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2 \!$
$\lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0 \!$
$\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0 \!$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

È evidente la validità dei teoremi per valori di $\R\!$ (numeri reali), invece per elementi appartenenti a $\R^*\!$ (in particolare per i casi $\pm\infty\!$ ) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia $f: X_f \subseteq \R \to \R,\,g: X_g \subseteq \R \to \R,\,X_f \cap X_g \ne \varnothing \!$ e $x_0 \!$ un punto di accumulazione per $X_f,\,X_g \!$ .

$\exists \lim_{x \to x_0}f(x),\,\exists \lim_{x \to x_0}g(x) = l \mbox{ (finito) e }c\in\R\!$

allora

$f(x)\to \pm\infty,\,c>0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty,\,c<0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \mp\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) + g(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) - g(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = 0^\pm \!$
$f(x)\to 0^\pm\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty,\,l>0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty,\,l<0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \mp\infty \!$

Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:

$l\cdot\pm\infty = \pm\infty\!$
$\pm\infty + l = \pm\infty\!$
$+\infty + \infty = + \infty\!$
$+\infty\cdot\pm\infty = \pm\infty\!$ (seguendo la regola dei segni convenzionale)
$\frac{l}{\pm\infty} = 0^\pm \!$

[modifica] Forme indeterminate

Casi mancanti dall'elenco precendete conducono ad espressioni del tipo:

$+\infty-\infty\!$
$0\cdot\pm\infty\!$
$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\!$
$\frac{0}{0}\!$

Per questi casi esistono tecniche particolari per trattarle, si veda la relativa voce per approfondire.

Per approfondire, vedi la voce Forma indeterminata.

[modifica] Limite di funzioni a più variabili

Ora affronteremo il problema per limiti di funzioni multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le funzioni. Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.

[modifica] Definizione

Cominciamo subito dando la definizione per funzioni $\reals^n \rightarrow \reals \!$ :

Definizione: Limite

Sia

$f: X \subseteq \reals^n \rightarrow \reals \!$

e $\bold{x_0} \in X \!$ di accumulazione e $l \in \reals \!$ , diremo che:

$\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f(\bold{x}) = l \!$

se, per ogni intorno $V \!$ di $l \!$ , è possibile trovare un intorno $U \!$ di $\bold{x_0} \!$ per cui vale :

$f(\bold{x})\in V \,\!$ se $\bold{x} \ne \bold{x_0} \in U \cap X \!$

in simboli:

$\forall \epsilon > 0, \exists\delta > 0: \Vert \bold{x}-\bold{x_0} \Vert < \delta \implies \vert f(\bold{x})-l \vert < \epsilon, \lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f(\bold{x}) = l \!$

Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \!$

ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima $y=0 \!$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2+0^2}} = \lim_{y \to 0} 1 = 1 \!$

invece, ora avvicinandoci da $x=0 \!$ :

$\lim_{y \to 0} \frac{0}{\sqrt{0^2+y^2}} = \lim_{x \to 0} 0 = 0 \!$

Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al punto di accumulazione, ma la definizione non ci dice nulla a riguardo, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per funzioni multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.

Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per funzioni del tipo $\reals^n \rightarrow \reals^m \!$ :

Definizione: Limite

Sia

$\bold{f}: X \subseteq \reals^n \rightarrow \reals^m \!$

e $\bold{x_0} \in X \!$ di accumulazione e $\bold{l} \in \reals^m \!$ , diremo che:

$\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \!$

se, per ogni intorno $V \!$ di $\bold{l} \!$ , è possibile trovare un intorno $U \!$ di $\bold{x_0} \!$ per cui vale :

$\bold{f}(\bold{x})\in V \,\!$ se $\bold{x} \ne \bold{x_0} \in U \cap X \!$

in simboli:

$\forall \epsilon > 0 \exists\delta > 0: \Vert \bold{x}-\bold{x_0} \Vert < \delta \implies \Vert \bold{f}(\bold{x})-\bold{l} \Vert < \epsilon, \lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \!$

Per facilitarne la comprensione si osservi che, se $f_1, f_2, \dots f_m \,\!$ sono le componenti di $\bold{f} \,\!$ la scrittura $\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \,\!$ è equivalente a:

$\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_1(\bold{x})=l_1\!$

$\vdots \!$

$\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_m(\bold{x})=l_m\!$

Infine facciamo notare che le funzioni del tipo $\reals^2 \rightarrow \reals^2 \!$ sono particolarmente interessanti perché possono essere definite come funzioni $\Complex \rightarrow \Complex \!$ .

Consideriamo $w = u+iv,\,z = x+iy \!$ e $w = f(z) \!$ otteniamo:

$f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) \!$

[modifica] Calcolo dei limiti

Qui di seguito si usano due particolari metodi di calcolo dei limiti. In pratica per calcolare il limite di una funzione di due variabili $z = f(x,y)\!$ in un punto $(x_0,y_0) \!$ , un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili:

$\begin{cases} x = x_0 + \rho cos \theta \\ y = y_0 + \rho sin \theta \end{cases} \!$

e si compone la funzione: $f(x,y) = F(x_0 + \rho cos \theta,y_0 + \rho sin \theta) \!$

Poi vale il teorema:

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \lim_{\rho \to 0} F(x_0 + \rho cos \theta,y_0 + \rho sin \theta) = L \!$

in modo però uniforme rispetto a $\theta \!$ .

Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per $(x_0,y_0) \!$ , cioè, all'avvicinarsi a $(x_0,y_0) \!$ , secondo diverse direzioni:

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \!$

componendo la funzione $f(x,y)= F[x(t),y(t)] \!$

$\lim_{t \to t_0} F[x(t),y(t)] = L$

dove $(x_0,y_0) = t_0 \!$ . In generale con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano $(x_0,y_0) \!$ ; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite.