Punto di discontinuità

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Si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali di variabile reale f un punto appartenente al dominio di definizione di f ma in cui f non è continua.

Comunemente, viene considerato punto di discontinuità anche un punto che non appartiene al dominio di f, ma appartiene alla parte interna della chiusura di f (in pratica un punto per cui abbia senso definire un limite destro e un limite sinistro di f).

In particolare, presa una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] (tranne al più in x₀) e considerando un punto x₀ appartenente allo stesso intervallo, la funzione presenterà in quel punto:
1. una discontinuità di prima specie (o punto singolare) se il valore del limite destro per x tendente a x₀ è diverso dal valore del limite sinistro (graficamente la funzione presenterebbe un salto)
2. una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti per x tendente a x₀ è infinito (sia positivo che negativo) oppure non esiste.
3. una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) se esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro per x tendente a x₀ ma il loro valore è diverso da f(x₀) o x₀ non è nel dominio della funzione.

[modifica] Discontinuità di prima specie

La funzione x/modulo(x)

Un punto $x 0$ si dice di discontinutà di prima specie quando il limite destro della funzione per $x$ che tende a $x 0$ , è diverso da quello sinistro, pur essendo entrambi valori finiti. Ovvero:

$\lim_{x \to x_0 ^+}f(x)$ $\ne$ $\lim_{x \to x_0 ^-}f(x)=k$

La discontinuità viene comunemente definita "di salto" perché l'aspetto del grafico è quello di un salto nel punto di discontinuità.

Un tipico esempio si ha nel caso della funzione $f(x)=\frac{x}{|x|}$ definita per $x \neq 0$ che vale sempre 1 per $x$ positivi e -1 per $x$ negativi e fa un "salto" in $x = 0$ .

[modifica] Discontinuità di seconda specie

La funzione tg(x)

Un punto $x 0$ si dice di discontinutà di seconda specie quando il limite della funzione per x che tende a $x 0$ da destra e/o da sinistra, tende ad infinito o non esiste affatto. Quindi

$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=\pm \infty$ o $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=\pm \infty$ o $\not\exists\lim_{x \to x_0}f(x)$

Un esempio con il limite infinito può essere la funzione che vale $f(x)=\frac 1 x$ per $x \neq 0$ o dalla funzione tangente. Un esempio in cui il limite non esiste è dato dalla funzione $f(x)=\sin\left(\frac 1 x\right)$ per $x \neq 0$ .

[modifica] Discontinuità eliminabile (o di terza specie)

La funzione sen(x)/x

Un punto $x 0$ si dice di discontinutà di terza specie quando il limite destro della funzione per x che tende a $x 0$ è uguale a quello sinistro, con entrambi valori finiti, ma diversi dall'eventuale valore di f in $x 0$ . Ovvero, se $x_0 \in [a,b]$ :

$\lim_{x \to x_0 ^+}f(x)=\lim_{x \to x_0 ^-}f(x)=k \neq f(x_0)$

La discontinuità viene comunemente definita "eliminabile" in quanto è sufficiente scegliere opportunamente il valore da assegnare alla funzione nel punto di discontinuità per renderla continua in quel punto.

Un tipico esempio è dato dalla funzione $f(x)=\frac {\sin(x)} x$ che a priori è definita solo per $x\neq 0$ ma si può estendere ad una funzione continua in $0$ ponendo $f (0) = 1$ .