Funzione continua

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Quello di continuità di una funzione è un concetto basilare della matematica moderna. Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate; la definizione più generale, dalla quale tutte le altre si possono far discendere, viene data nel contesto della topologia.

Indice

1 Idea intuitiva
2 Continuità in Analisi
- 2.1 Continuità per funzioni di più variabili reali
3 Continuità in topologia
4 Esempi
5 Proprietà delle funzioni continue
6 Spazio delle funzioni continue
7 Voci correlate

[modifica] Idea intuitiva

L'idea intuitiva che sta dietro alla nozione matematica di funzione continua è quella di una funzione f(x) per cui a variazioni sempre più piccole di un punto x del dominio corrispondono variazioni sempre più piccole dell' immagine f(x).

Talvolta si dice che una funzione continua è tale per cui se ne può tracciare il grafico senza mai staccare la matita dal foglio, ma questo può essere fuorviante: è vero infatti che il grafico di una funzione continua (nel senso intuitivo appena descritto e nel senso matematico che verrà esplicitato più avanti) è "connesso" e non presenta "salti" tuttavia in generale il grafico può avere una struttura talmente complessa che è umanamente impossibile disegnarlo, come nel caso della funzione di Cantor.

[modifica] Continuità in Analisi

Nel caso di funzioni con dominio e codominio nell' insieme dei numeri si può dare una definizione di funzione continua connessa con il concetto di limite di una funzione. Dato un punto x₀ sulla retta reale una funzione f(x) si definisce continua in x₀ se il suo limite per x tendente a x₀ coincide con il suo valore in x₀, ovvero con f(x₀). In simboli:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

In alcuni casi si esprime questo fatto dicendo che l'operazione di limite in x₀ commuta con la funzione f:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(\lim_{x \to x_0}x)$

Esplicitando il concetto di limite la definizione di continuità si può riformulare nel seguente modo:

Una funzione f a valori reali è continua in x₀ se ogni intorno di f(x₀) include l'immagine di un intorno di x₀.

ovvero:

Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-x₀|<δ implica |f(x)-f(x₀)|<ε

Una formulazione equivalente si avvale del concetto di limite di una successione:

Una funzione f a valori reali è continua in x₀ se per ogni successione x_n a valori nel dominio della funzione e convergente a x₀ la succesione f(x_n) converge a f(x₀).

Dato poi un sottoinsieme A di R su cui è definita f(x), si dice che f è continua su A, se è continua in ogni punto di A.

[modifica] Continuità per funzioni di più variabili reali

Tutte le definizioni date si generalizzano immediatamente al caso di funzioni da Rⁿ in R^m o fra spazi topologici qualsiasi estendendo a tali spazi la nozione di limite di una funzione, di intorno, di successione o di distanza che nel caso unidimensioanle era idotta dal modulo e nel caso di uno spazio euclideo n-dimensionale è indotta dalla norma euclidea.

[modifica] Continuità in topologia

Una definizione di continuità equivalente alla precedente e propria della topologia è la seguente.

Dati due spazi topologici X e Y, e x un punto di X, una funzione f: X → Y si dice continua in x se la controimmagine di ogni intorno di f(x) è un intorno di x.

La funzione f: X → Y si dice continua (senza ulteriori specificazioni), se è continua in ogni punto di X.

Si può dimostrare che una funzione è continua (rispetto alla definizione appena data) se e solo se la controimmagine di ogni insieme aperto in Y è un insieme aperto in X.

Infatti, se f è continua su X e x un punto di X, la controimmagine di ogni intorno aperto di f(x) è un aperto di X contenente x, è quindi un intorno di x. Viceversa, se f è continua in ogni punto di X e M è un aperto di Y, possiamo avere due casi: 1) la controimmagine di M è l'insieme vuoto (se M non contiene punti dell'immagine di f) ed è quindi un aperto, 2) M contiene un punto f(x), è quindi un intorno di quel punto e la sua controimmagine è un intorno di X, quindi un aperto.

[modifica] Esempi

Sono esempi di funzioni continue:

Le funzioni costanti $f (x) = c$
La funzione identità
Le funzioni che associano ad una coppia di numeri (x,y) la somma x+y, il prodotto xy o il rapporto x/y sono continue nel loro insieme di definizione in R².
Le trasformazioni lineari fra spazi euclidei
Le funzioni espresse da polinomi
La funzione esponenziale e il logaritmo naturale nel suo insieme di definizione
Le funzioni seno e coseno.
La funzione valore assoluto è continua ma non derivabile
La funzione di Cantor e la curva di Koch sono esempi di funzioni continue con struttura frattale
La curva di Peano: una curva piana che ricopre l'intero quadrato

Sono esempi di funzioni non continue:

La funzione caratteristica di un sottoinsieme proprio di R è discontinua sulla frontiera dell'insieme
La funzione di Dirichlet è discontinua in ogni punto

[modifica] Proprietà delle funzioni continue

Chiusura per composizione: la classe delle funzioni continue è chiusa rispetto all'operazione di composizione di funzioni, ovvero la funzione $h (x) = f (g (x))$ ottenuta componendo due funzioni continue $f (x)$ e $g (x)$ è ancora una funzione continua. Una conseguenza importante è che se siamo nell'insieme R dei numeri reali e se f e g sono continue in x₀ allora $f + g, f * g, f / g \ (g(x_0) \not= 0)$ sono continue.

Permanenza del segno: se una funzione è a valori in R, è continua in un punto del suo dominio x₀ con $f (x 0) > 0$ allora esiste un'intorno $U (x 0)$ tale che $f (x) > 0$ in tutti i punti dell'intorno.

Esistenza degli zeri: Sia $f:[a,b] \to \R$ continua. Se $f(a)\cdot f(b) \,<\, 0$ allora esiste almeno un $x_0 \in (a,b)$ tale che $f (x 0) = 0$ .

Preservazione della connessione: l'immagine di un insieme connesso mediante una funzione continua è ancora un insieme connesso. In particolare se $f:[a,b] \to \R$ è continua allora $f$ assume tutti i valori compresi fra $f (a)$ e $f (b)$

Preservazione della compattezza: l'immagine di un insieme compatto mediante una funzione continua è ancora un insieme compatto. Come conseguenza si ha il
- Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme compatto K assume massimo e minimo in K. In particolare se $f:[a,b] \to \R$ è continua allora esistono $x_1, x_2 \in [a,b]$ tali che:

$f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2) \ \forall x \in [a,b]$

Criterio di invertibilità: Una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo [a,b] è invertibile in tale intervallo.

Continuità delle funzioni inverse: Se $f:[a,b] \to \R$ è continua e biiettiva, anche la funzione inversa f ^-1 è continua. L'implicazione non vale in generale per le funzioni la cui immagine non è un intervallo: un controesempio è dato dalla curva che manda iniettivamente l'intervallo aperto (0,1) in una figura a forma di "8".

[modifica] Spazio delle funzioni continue

L'insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato A e a valori reali

$\{f:A \to \R\}$

può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per f e g in tale insieme

$\begin{matrix} f+g: & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & f(x)+g(x)\end{matrix}$

e per α numero reale

$\begin{matrix} \alpha f : & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \alpha f(x)\end{matrix}$

Lo spazio vettoriale così definito è detto spazio delle funzioni continue su A e viene indicato con C(A,R).

Se il dominio A è compatto (e quindi per tutte le funzioni in C(A,R) vale il teorema di Weierstrass) nello spazio C(A,R) può essere definita una norma ponendo: