Teorema
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Teorema in greco significa: cosa che si guarda, su cui si specula; sul piano etimologico il termine si avvicina a teoria e a teatro.
In matematica per teorema, strettamente, si intende un enunciato che viene dimostrato nell'ambito di una teoria formale (come ogni altra proposizione derivabile dagli assiomi della teoria mediante un procedimento dimostrativo) e che in una esposizione sistematica della teoria viene presentato come risultato di rilievo. Il suo ruolo di rilievo differenzia i teoremi dai lemmi, dai corollari e dalle semplici proposizioni della teoria.Un teorema è quindi una affermazione di cui bisogna controllare la verità mediante un ragionamento.
La distinzione fra teoremi e semplici proposizioni della teoria è materia opinabile e può dipendere in parte dalla tradizione, in parte dalla semplicità dell'enunciato e quindi alla facilità di comprenderne il senso e di ricordarlo, in parte da valutazioni sul numero e sul peso delle conseguenze che possono ricavarsi da una proposizione. Assieme a queste valutazioni, non facili da condurre con ampiezza e obiettività, si dovrebbe considerare Queste ultime valutazioni probabilmente non sempre bveUna conside, in parte dal gusto
Talora si usa il termine "teorema" anche per un'affermazione per la quale non si dispone di una dimostrazione interamente soddisfacente, ma solo di una prova che copre una casistica ampia ma non esauriente o di una prova con qualche passaggio poco definito. Una tale affermazione si avvicina quindi a una congettura, affermazione che si ritiene valida sulla base di esempi e di considerazioni favorevoli, ma che manca ancora di una dimostrazione (e per la quale si usa anche, piuttosto impropriamente il termine "ipotesi").
Un esempio dell'uso più rilassato del termine "teorema" è dato dalla dizione ultimo teorema di Fermat utilizzata prima del completamento della sua dimostrazione per merito soprattutto di Andrew Wiles. Va ricordato anche che attualmente sono disponibili dimostrazioni estremammente estese e complesse (come quella di oltre 15000 pagine della classificazione dei gruppi finiti semplici) che richiederebbero controlli che solo in parte sono effettuati con la meticolosità che sarebbe necessaria. Un'altra classe di dimostrazioni che richiederebbero controlli molto meticolosi sono quelle che si basano su analisi empiriche condotte con il computer (v. matematica sperimentale). Per gli enunciati per i quali si dispone di dimostrazioni complesse che raccolgono un elevato grado di fiducia da parte di una comunità internazionale rigorosa come quella dei matematici, si considera lecito l'uso rilassato del termine "teorema".
Sette teorie irrisolte o congetture, dette Problemi del Millennio, sono in attesa di una dimostrazione. Per ognuna di esse è a disposizione un premio di 1.000.000 US$ da parte del Clay Mathematics Institute.
