Limite di una funzione/Esempi

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Indice

1 Definizione
2 Teorema del confronto
- 2.1 Esempio

[modifica] Definizione

Di seguito vengono riportati alcuni esempi che mostrano le applicazione della definizione di limite appena esposta. Gli esempi tratterrano della verifica dell'esistenza o meno del limite per alcune funzioni molto semplici.

[modifica] Esempio 1

Provare che $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty \!$

Prendiamo un intorno di $+\infty \!$ , otteniamo:

$\kappa \le f(x) \!$

perciò:

$\kappa \le \frac{1}{x^2} \!$

$x^2 \le \frac{1}{\kappa} \!$

quindi basterà prendere:

$x \in \left ( -\frac{1}{\sqrt{\kappa}}, +\frac{1}{\sqrt{\kappa}} \right ) \!$

che è un intorno di 0, il limite è verificato.

[modifica] Esempio 2

Provare che $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+2} = 1 \!$

Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:

$1-\epsilon \le \frac{x}{x+2} \le 1+\epsilon \!$

separando la disuguaglianza:

$1-\epsilon \le \frac{x}{x+2} \mbox{ e } \frac{x}{x+2} \le 1+\epsilon \!$

dalle quali otteniamo direttamente:

$x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right ) \mbox{ e } x \ge -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1 \right ) \!$

dalle quali, per $\epsilon > 0 \!$ :

$x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right ) > -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1 \right ) \!$

che è un intorno di $+\infty \,\!$ , perciò il limite è verificato.

[modifica] Esempio 3

Provare che $\lim_{x \to +\infty} \sin x \!$ non esiste

Sappiamo che la funzione seno e` limitata perciò

$\sin x \in \left [ -1; +1 \right ] \!$

dalla quale

$x \in \left [ -\frac{\pi}{2}+2k\pi; +\frac{\pi}{2}+2k\pi \right ] \!$

che non è un intorno di $+\infty \!$ , perciò il limite non esiste.

[modifica] Teorema del confronto

[modifica] Esempio

L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \!$

Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia $0<x<\frac{\pi}{2}\!$ la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

$\overline{OA} = 1 \!$

Allora

$\overline{PH} = \sin x\!$

$\overline{QA} = \tan x\!$

Si ha dunque

$\sin x < x < \tan x \!$

da cui, dividendo per $\sin x\!$

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \!$

prendendo i reciproci

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \!$

sapendo che la disuguaglianza non cambia per $-x \!$ e che $\lim_{x\to 0} \cos x = 1 \!$ , sfruttando il teorema del confronto otteniamo

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \!$

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../l/i/m/Limite_di_una_funzione_Esempi_3a27.html"

Categoria: Limiti

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[modifica] Definizione

[modifica] Esempio 1

[modifica] Esempio 2

[modifica] Esempio 3

[modifica] Teorema del confronto

[modifica] Esempio

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