Pi

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Matematička konstanta $\pi \approx{3.14159...}$ se često koristi u matematici i fizici. π je malo slovo grčkog alfabeta i mjenja se sa pi kada je nedostupno. U euklidskoj planimetriji, π se može definisati kao odnos obima i prečnika kruga, ili kao površina kruga poluprečnika 1 (jediničnog kruga). Većina novijih udžbenika definiše π analitički, koristeći trigonometrijske funkcije, na primjer kao najmanje pozitivno x za koje je sin(x) = 0, ili kao dva puta najmanje pozitivno x za koje je cos(x) = 0. Sve ove definicije su ekvivalentne.

π je takođe poznato i kao Arhimedova konstanta (ne treba mješati sa Arhimedovim brojem) i Ludolphov broj.

Numerička vrijednost π zaokružena na 64 decimalna mjesta je:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

[izmijeni] Osobine

π je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cijela broja. Ovo je dokazao Johann Heinrich Lambert 1761. godine. Zapravo, ovaj broj je transcendentan, što je dokazao Ferdinand von Lindemann 1882. godine. To znači da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, čiji je π korjen.

Važna posljedica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti π koristeći samo konačan broj cijelih brojeva, razlomaka, i nad njima četiri osnovne i operaciju kvadratnog korjenovanja. Ovo dokazuje da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga: nemoguće je konstruisati (koristeći samo lenjir i šestar) kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke (1,0) na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korišćenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.

[izmijeni] Formule sa π;

[izmijeni] Geometrija

π; se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se tiču krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti.

Geometrijski oblik	Formula
obim kruga poluprečnika -{r}- i prečnikaа -{d}-	$O = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Površina kruga poluprečnika -{r}-	$P = \pi r^2 \,\!$
Površina elipse sa poluosama -{a}- i -{b}-	$P = \pi a b \,\!$
Zapremina kugle poluprečnika -{r}-	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
Površina kugle poluprečnika -{r}-	$P = 4 \pi r^2 \,\!$
Zapremina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	$V = \pi r^2 H \,\!$
Površina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	$P = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) H = 2 \pi r (r + H) \,\!$
Zapremina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H \,\!$
Površina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	$P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + H^2}) \,\!$

Također, ugao od 180° (u stepenima) iznosi π; radijana.

[izmijeni] Analiza

Dosta formula u analizi sadrži π, uključujući predstavljanja u obliku beskonačnog reda (i beskonačnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.

François Viète, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

Leibnizоva formula:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}$

John Wallis - Valisov proizvod:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Integral vjerovatnoće, poznat iz kalkulusa (vidi također i Funkcija greške i Normalna raspodjela):

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

Bazelski problem, koji je prvi riješio Leonhard Euler (vidi također i Rimanova zeta-funkcija):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

i, uopšte,

ζ(2 n)

je racionalni umnožak broja

π 2 n

za svako prirodno n.

Vrijednost Gama-funkcije u tački 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

Stirlingova aproksimaciona formula:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Ojlerov identitet (kojeg je Richard Feynman nazvao "najizvanrednijom formulom u matematici"):

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Osobina Ojlerove φ-funkcije:

$\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$

Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$

[izmijeni] Kompleksan analiza

Spcijalan slučaj Ojlerove formule za $e^{ix}\,$ :

$e^{i\pi}\,\!+1=0$

Osnovni slučaj teoreme o ostacima:

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i$

[izmijeni] Verižni razlomak

π; ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je na primjer:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

[izmijeni] Teorija brojeva

Neki rezultati iz "Teorije Brojeva":

Vjerovatnoća da su dva slučajno izabrana cijela broja uzajamno prosta je 6/π;². Vjerovatnoća da je slučajno izabran cijeli broj beskvadratan je 6/π;². U prosjeku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosljed sabiraka je bitan) je π;/4.

Ovde, "vjerovatnoća", "prosjek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrijednosti; tj. posmatra se vjerovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva {1,2, ... N}, a zatim uzima granična vrijednost te vjerovatnoće kada {N→∞} ({N} je "jako veliko").

[izmijeni] Dinamički sistemi/Ergodička teorija

U teoriji dinamičkih sistema (vidi takođe ergodička teorija), za skoro svako realno x₀ u intervalu [0,1],

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,,$

gdje su x_i iterirane vrijednosti logističkog preslikavanja za r = 4.

[izmijeni] Fizika

U fizici, pojava broja π; u formulama је najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primjer, korišćenjem uproščene Plankove konstante $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ može se izbjeći pisanje broja π; eksplicitno u velikom broju formula u Kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bezičnija, a prisustvo faktora 1/2π; u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.

Heisenbergov princip neodređenosti:

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$

Einsteinova jednačina polja оpšte teorije relativnosti:

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$

Kulonov zakon за еlektričnu silu:

$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Magnetna permeabilnost slobodnog prostora:

$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}\,$

[izmijeni] Vjerovatnoća i statistika

U vjerovatnoći i statistici postoji puno raspodjela, čiji analitički izrazi sadrže π;, uključujući:

Gustina raspodjele vjerovatnoće za normalnu raspodjelu sa matematičkim očekivanjem μ i standardnom devijacijom σ:

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}$

Gustina raspodjele vjerovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodjelu:

$f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}$

Treba primjetiti da se, kako je, $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ za svaku Funkciju gustine raspodjele vjerovatnoće -{f(x)}-, pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za π;.

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja π zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla dužine L baca na ravan na kojoj su označene dvije paralelne prave na međusobnom rastojanju S (gdje je S>L). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj (n) puta, od kojih se x puta zaustavi tako da siječe jednu od pravih, onda približnu vrijednost broja π možemo dobiti korištenjem formule

$\pi \approx \frac{2nL}{xS}$

[izmijeni] Historija

Simbol "π;" za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar William Jones kada je objavio Novi uvod u matematiku (A New Introduction to Mathematics), mada je isti simbol još ranije korišten da naznači obim kruga. Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonhard Euler. U oba slučaja, 'π;' je prvo slovo riječi π;εριμετρος (perimetros), što znači 'mijeriti okolo' na grčkom jeziku.

Evo kratke hronologije broja π;:

Vrijeme	Osoba	Vrijednost π; (svjetski rekordii su oznaćeni podebljano)
20. vijek p.n.e.	Babilonci	25/8 = 3.125
20. vijek p.n.e.	Egipatski matematički papirus (Rhindov papirus)	(16/9)² = 3.160493...
12. vijek p.n.e.	Kinezi	3
sredinom 6. vijeka p.n.e.	1 Kraljevi 7:23	3
434 p.n.e.	Anaksagora je pokušao da kvadrira krug lenjirom i šestarom
3. vijek p.n.e.	Arhimed	223/71 < π; < 22/7 (3.140845... < π; < 3.142857...)
20 p.n.e.	Vitruvije	25/8 = 3.125
130	Čang Hong	√10 = 3.162277...
150	Ptolomej	377/120 = 3.141666...
250	Vang Fau	142/45 = 3.155555...
263	Liu Hui	3.14159
480	Zu Čongži	3.1415926 < π; < 3.1415927
499	Arjabhata	62832/20000 = 3.1416
598	Bramagupta	√10 = 3.162277...
800	Muhamed Al Horezmi	3.1416
12. vijek	Baskara	3.14156
1220	Fibonači	3.141818
1400	Madava	3.14159265359
Svi podatci od 1424. su dati u brojevima tačnih decimalnih mijesta (dm)..
1424	Džamšid Masud Al Kaši	16 dm
1573	Valentus Oto	6 dm
1593	Fransoa Vijet	9 dm
1593	Adrijen van Romen	15 dm
1596	Ludolph van Ceulen	20 dm
1615	Ludolph van Ceulen	32 dm
1621	Vilebrord Snel (Snelije), Ludolphov učenik	35 dm
1665	Isaac Newton	16 dm
1699	Abraham Šarp	71 dm
1700	Seki Kova	10 dm
1706	John Machin	100 dm
1706	William Jones uveo grčko slovo 'π;'
1730	Kamata	25 dm
1719	De Lanji izračunao 127 decimalnih mijesta, ali nisu sva bila tačna	112 dm
1723	Takebe	41 dm
1734	Leonhard Euler usvojio grčko slovo 'π;' i obezbjedio njegovu popularnost;
1739	Macunaga	50 dm
1761	Johann Heinrich Lambert dokazao da је π; iracionalni broj
1775	Euler ukazao na mogućnost da bi π; mogao biti transcendentan
1789	Jurij Vega izračunao 140 decimalnih mijesta, ali nisu sva bila tačna	137 dm
1794	Adrijan-Mari Ležandr pokazao da je i π;² (pa samim tim i π;) iracionalan, i spominje mogućnost da je π moguće transecedentan.
1841	Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna	152 dm
1844	Zaharija Daze i Štrasnicki	200 dm
1847	Tomas Klauzen	248 dm
1853	Leman	261 dm
1853	Raderford	440 dm
1853	Vilijam Šenks	527 dm
1855	Rihter	500 dm
1874	William Shanks je posvetio 15 godina izračunavanju 707 decimalnih mijesta, ali nisu sva bila tačna (grešku je otkrio D. F. Ferguson 1946. godine)	527 dm
1882	Ferdinand Lindenmann dokazao da je π; transcedentan (Lindeman-Vajerštrasova teorema, koju neki zovu i "najlijepšom teoremom cijele matematike")
1946	D. F. Ferguson koristeći stoni kalkulator	620 dm
1947		710 dm
1947		808 dm
Svi rekordi od 1949. nadalje izračunati su pomoću elektronskih računara.
1949	Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit bili su prvi koji su koristili elektronski računar (ENIAC) da izračunaju π;	2,037 dm
1953	Maler pokazao da π; nije Liuvilov broj
1955	Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit	3,089 dm
1961		100,000 dm
1966		250,000 dm
1967		500,000 dm
1974		1,000,000 dm
1992		2,180,000,000 dm
1995	Jasumasa Kanada	> 6,000,000,000 dm
1997	Kanada i Takahaši	> 51,500,000,000 dm
1999	Kanada i Takahaši	> 206,000,000,000 dm
2002	Kanada i tim	> 1,240,000,000,000 dm
2003	Kanada i tim	> 1,241,100,000,000 dm
April 2004	Kanada i tim	1.3511 bilion cifara ukupno

[izmijeni] Numeričke aproksimacije broja π;

Zbog transcedentne prirode broja π;, ne postoje prikladni zatvoreni izrazi za π;. Stoga, numerička izračunavanja moraju koristiti približne vrijednosti (aproksimacije) Broja. Za puno potreba, 3.14 ili 22/7 je dovoljno blizu, iako inženjeri često koriste 3.1416 ili 3.14159 (5, odnosno 6 značajnih cifara) radi veće preciznosti. Aproksimacije 22/7 i 355/113, sa 3 i 7 značajnih brojki, se dobijaju iz jednostavnog razvoja π; u verižni razlomak.

Pored toga, sljedeća numerička formula daje aproksimaciju π; sa 9 ispravnih cifara:

$(63/25)((17+15\sqrt 5)/(7+15\sqrt5))$

Egipatski pisar po imenu Ahmes је izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja π;. Rajndov papirus datira iz egipatskog drugog srednjeg perioda — mada Ahmes tvrdi da je prepisivao papirus iz Srednjeg kraljevstva — i opisuje vrijednost tako da je dobijeni rezultat zapravo 256 podjeljeno sa 81, tj. 3.160.

Kineski matematičar Liu Hui je izračunao π; do 3.141014 (tačno do 3 decimalna mesta) 263. godine i predložio da je 3.14 dobra aproksimacija.

Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za π;. On je napisao: "Dodaj četiri na sto, pomnoži sa osam, a onda dodaj šezdesetdvijehiljade. Rezultat je približno jednak obimu kruga prečnika dvadesethiljada. Ovim pravilom dat je odnos između obima i prečnika." Drugim riječima, (4+100)×8 + 62000 je obim kruga prečnika 20000. Ovo daje vrijednost π; = 62832/20000 = 3.1416, tačnu kada se zaokruži na 4 decimalna mesta.

Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao π; do 3.1415926–3.1415927, i dao dvije aproksimacije: 355/113 i 22/7 (u 5. vijeku).

Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kaš (1350–1439) je izračunao π; do 9 cifara u brojnom sistemu sa osnovom 60, što je ekvivalentno sa 16 decimalnih mesta kao:

2 π; = 6.2831853071795865

Njemački matematičar Ludolph van Ceulen (оkо 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.

Slovenački matematičar Jurij Vega је 1789. izračunao prvih 140 decimala, od kojih je prvih 137 bilo tačno i držao je svjetski rekord 52 —sve do 1841—kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu John Machina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.

Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrijednosti broja π;. Za brza izračunavanja, mogu se koristiti formule poput Machinove:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

zajedno sa Taylorovim razvojem funkcije -{arctan(x)}-. Ova formula se najlakše provjerava korišćenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:

$(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244i.$

Formule ove vrste su poznate kao formule slične Machinove.

Ekstremno dugački decimalni razvoji broja π; se po pravilu računaju Gauß-Legendreovim algoritmom i Borweinovim algoritmom; Salamin-Brentov algoritam koji potiče iz 1976. godine је također korišćen u prošlosti.

Prvih milion cifara brojeva π; i 1/π; su dostupni na Projektu Gutenberg. Trenutni rekord (decembar 2002) ima 1 241 100 000 000 cifara, koje su izračunate u septembru iste godine na 64-čvornom Hitachi superračunaru sa jednim terabajtom radne memorije, koji vrši 2 biliona operacija u sekundi, skoro duplo više od računara korišćenog za prethodni rekord (206 milijardi cifara). Korišćene su sljedeće formule slične Machinaovoj:

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ –K. Takano (1982).

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ –F. C. W. Störmer (1896).

Ove približne vrijednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja π;.

1996. godine David H. Bailey je, zajedno sa Peter Borwein i Simon Plouffe, otkrio novu formulu za π u obliku zbira beskonačnog reda:

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Ova formula omogućava da se lako izračuna k^ta binarna ili heksadecimalna cifra broja π; bez potrebe za raöunanjem prethodnih k − 1 cifara. Baileyeva internet stranica sadrži izvođenje ove formule, kao i njenu implementaciju u raznim programskim jezicima. PiHeks projekat je izračunao 64-bite oko milijarditog bita broja π; (koji je, uzgred, 0).

Ostale formule koje su do sada korišćene za izračunavanje približnih vrijednosti π uključuju:

$\frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)$ —Newton.

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ —Srinivasa Ramanujan.

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ —David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky.

${\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79}$ —Leonhard Euler.

Na računarima sa Microsoft Windows operativnim sistemom, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja π izračunat na kućnom računaru je 25 000 000 000, za koje je PiFast-u trebalo 17 dana.

[izmijeni] Otvorena pitanja

Otvoreno pitanje o ovom broju je da li je π normalan broj — da li se ma koji blok cifara javlja u njegovom decimalnom razvoju upravo onoliko često koliko bi se statistički moglo očekivati ako bi se cifre proizvodile potpuno "nasumično". Ovo mora da bude tačno u bilo kojoj osnovi, a ne samo u dekadnom sistemu (osnovi 10). Sadašnje znanje u ovom smijeru je veoma oskudno; na primjer, ne zna se čak ni koje se od cifara (0,...,9) pojavljuju beskonačno često u decimalnom razvoju ovog broja.

Bailey and Crandall su pokazali 2000. godine da postojanje gore pomenute Bailey-Borwein-Plouffe formule i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja π i raznih drugih konstanti u osnovi 2 može svesti na izvjesnu razumnu pretpostavku u Teoriji haosa.

Takođe nije poznato da li su π i e algebarski nezavisni, tj. da li postoji netrivijalna polinomska relacija između ova dva broja sa racionalnim koeficijentima.

John Harrison (1693–1776) je stvorio muzički sistem izveden iz π. Ovaj Lucy tjuning sistem, (zbog jedinstvenih matematičkih osobina broja π) može da oslika sve muzičke intervale, harmonije i harmonike. Ovo sugeriše da bi se korišćenjem π mogao dobiti precizniji model za analizu kako muzičkih, tako i drugih harmonika u vibrirajućim sistemima.

[izmijeni] Priroda broja π

U ne-euklidskoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od π radijana, a odnos obima kruga i njegovog prečnika može se takođe razlikovati od π. Ovo ne menja njegovu definiciju, ali utiče na mnoge formule gde se π pojavljuje. Pa tako, posebno, oblik univerzuma ne utiče na π; π nije fizička nego matematička konstanta, definisana nezavisno od ma kakvih fizičkih mjerenja. Razlog zašto se π pojavljuje tako često u fizici je jednostavno zato što je podesan u mnogim fizičkim modelima.

Posmatrajmo, kao primjer, Kulonov zakon:

$F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2}$ .

Ovdje, $4 \pi r^2\,$ je naprosto površina lopte poluprečnika r. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja r od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne — ili u nekim slučajevima zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ čime se uklanja potreba za π.

[izmijeni] Spominjanja u fikciji

Contact (Kontakt) - naučno-fantastično djelo Carl Sagana, a kasnije filmska adaptacija sa Jodie Foster. Sagan razmatra mogućnost potpisa, koji su u decimalni razvoj broja π ugradili stvaraoci univerzuma.
π (film) - O vezi između brojeva i prirode: otkrivanje takve veze a da niste numerolog.
Time's Eye (Oko vremena) - Naučna fantastika Arthur C. Clarkea i Stephen Baxtera. U svijetu koji su prestrojile vanzemaljske sile, primjećuje se sferična naprava čiji je odnos obima i prečnika po svim ravnima - tačan cijeli broj 3.

[izmijeni] π kultura

Postoji cijelo polje humorističkog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korišćenje mnemonika za lakše pamćenje cifara π i zove se pifilologija. Pogledajte Pi mnemonike za primjere na engleskom jeziku.

14. mart (3/14 u SAD) je Pi dan kojeg prosavlja veliki broj ljubitelja ovog broja. 22. jula, proslavlja se Dan aproksimacije broja pi (22/7 je popularna aproksimacija).

Štaviše, mnogi ljudi govore i o "pi satu" (3:14:15 je malo manje od pi sata; 3:08:30 bi bilo najbliže broju π sati poslije podneva ili ponoći u cijelim sekundama).

Još jedan primjer matematičkog humora je slijedeća aproksimacija π: Uzmite broj "1234", zamjenite mjesta prvim dvjema i posljednjim dvjema ciframa, tako da broj postaje "2143". Podjelite taj broj sa "dva-dva" (22, pa je 2143/22 = 97.40909...). Uzmite dvo-kvadratni korjen (četvrti korjen) od ovog broja. Konačan rezultat je izuzetno blizu π: 3.14159265.

Pi

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Sadržaj

[izmijeni] Osobine

[izmijeni] Formule sa π;

[izmijeni] Geometrija

[izmijeni] Analiza

[izmijeni] Kompleksan analiza

[izmijeni] Verižni razlomak

[izmijeni] Teorija brojeva

[izmijeni] Dinamički sistemi/Ergodička teorija

[izmijeni] Fizika

[izmijeni] Vjerovatnoća i statistika

[izmijeni] Historija

[izmijeni] Numeričke aproksimacije broja π;

[izmijeni] Otvorena pitanja

[izmijeni] Priroda broja π

[izmijeni] Spominjanja u fikciji

[izmijeni] π kultura

[izmijeni] Relevantni članci

[izmijeni] Vanjski linkovi

[izmijeni] Cifre

[izmijeni] Proračuni

[izmijeni] Opći

[izmijeni] Mnemonici

Views

Navigacija

Pretraga

Drugi jezici