Pi

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Det greske alfabetet

Α α Alfa	Ν ν Ny
Β β Beta	Ξ ξ Xi
Γ γ Gamma	Ο ο Omikron
Δ δ Delta	Π π Pi
Ε ε Epsilon	Ρ ρ Rho
Ζ ζ Zeta	Σ σ ς Sigma
Η η Eta	Τ τ Tau
Θ θ Theta	Υ υ Ypsilon
Ι ι Iota	Φ φ Phi
Κ κ Kappa	Χ χ Khi
Λ λ Lambda	Ψ ψ Psi
Μ μ My	Ω ω Omega

Pi er navnet på den sekstende bokstaven (Π, π) i det greske alfabetet, den tilsvarer P og p i det latinske alfabet.

Innhold

1 Pi i matematikken
- 1.1 Produktoperatoren Π
- 1.2 Konstanten π
2 Diverse

[rediger] Pi i matematikken

I matematikken blir pi brukt på mangfoldig vis. De mest vanlige er å bruke stor pi (Π) for å angi en produktserie og liten pi (π) for å angi konstanten.

[rediger] Produktoperatoren Π

Π (stor) brukes som produktoperator. Da angir den at matematiske objekter skal multipliseres i en produktserie. I noen tilfeller også kalt en produktsum.

Et eksempel på en produktserie er

$\prod _{k = 1} ^{n} x_k = x_1 x_2 x_3 x_4 ... x_{n - 1} x_n$

Minuskelen pi

[rediger] Konstanten π

π (liten) er blant annet en konstant definert som forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Omkrets = π * diameteren. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til pi for hverdagens bruk, feks. i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange desimaler som er ikke-sykliske, dermed er pi et irrasjonalt tall eller mer spesifikt et transcendentalt tall. Yasumasa Kanada ved Universitetet i Tokyo kalkulerte i 2002 1 241 100 000 000 desimaler.

Man bruker tallet pi, som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av sirkler eller ellipser. Pi brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av kjegler, sylindre og kuler. Også i trigonometrien er pi en grunnleggende konstant.

Pi har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

Babylonerne	ca. 2000 f. Kr.	3,125
Egypterne	ca. 2000 f. Kr.	3,16045
Salomon	ca. 950 f. Kr.	3
Arkimedes	ca. 250 f. Kr.	3,1418 (223/71 < π < 22/7)
Zu Chongzhi	ca. 480 e. Kr.	355/113 = 3,141592920
Otho	1573	3,1415929
Viete	1593	3,1415926536
Guilloud og Bouyer	1973	1.001.250 desimaler
Kanada og Tamura	1989	1.073.741.799 desimaler

Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt og som ofte er kalt Leibniz' formel er

${\pi \over 4} = \sum_{k = 0}^{\infty}{{(-1)^k} \over {2 k + 1}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots$

Eller som en tilnærming

$\pi \approx 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ...$

I det ovenstående er pi angitt til 50 desimaler.

[rediger] Diverse

David Blatner: The Joy of Pi, Walker & Company (1997), ISBN 0802713327.
I 1998 debuterte Darren Arnofsky med en film med navnet pi som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet pi.