لکیری ذیلی فضا

وکیپیڈیا سے

تعریف: ذیلی مجموعہ (subset): ایک مجموعہ (set) کا ذیلی مجموعہ میں اصل مجموعہ مٰٰیں موجود عنصر میں سے کچھ عناصر ہونگے۔

لکیری ذیلی فضا = سمتیہ ذیلی فضا

سمتیہ فضا کے مجموعہ کا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود بھی ایک سمتیہ فضا ہو، کو سمتیہ ذیلی فضا کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے vector subspace کہتے ہیں۔ کوئی بھی ذیلی مجموعہ سمتیہ فضا کے قواعد 2 سے 5 پورے کرے گا۔ یہ جاننے کے لیے ذیلی مجموعہ ایک سمتیہ فضا ہے یا نہٰیں، ہمیں صرف اسے قواعد 1 کے لیے پرکھنا ہوتا ہے۔

[ترمیم کریں] مثال

اگر $\ m \le n$ ، تو "سمتیہ فضا" $\mathbb{R}^n$ کی ایک "سمتیہ ذیلی فضا" $\mathbb{R}^m$ ہو گی۔

[ترمیم کریں] مثال

تصویر میں معکب فضا $\mathbb{R}^3$ کی ایک سمتیہ ذیلی فضا نیلے پلین سے دکھایا گئی ہے۔ $\mathbb{R}^3$ میں سمتیہ تین اعداد (معکب کی تین سمتوں X، Y، Z، کی اطراف پیمائیش، ابتداء سے) سے یوں دیا جاتا ہے، $\left[\begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix}\right]$ ، جبکہ سمتیہ ذیلی فضا (نیلا پلین) پر سمتیہ یوں ہے $\left[\begin{matrix}x \\y \\-6x+17y \end{matrix}\right]$
جو میٹرکس تفاعل کے زریعے یوں لکھا جا سکتا ہے $\left[\begin{matrix}x \\y \\-6x+17y \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -6 & 17 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x \\y \\z\end{matrix}\right]$ غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی ہے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) کے لحاظ سے پھر بھی اس کا کوئی نکتہ ڈھونڈنے کے لیے تین عدد چاہیے ہیں۔ اگر ہم ان قدرتی بنیاد سمتیہ کو ایسے گھمائیں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین کے متوازی ہو جائیں، تو ان نئے بنیاد سمتیہ کی رو سے نیلے پلین کا کوئی بھی نکتہ لکھتے ہوئے تیسرا عدد صفر ہو گا۔ اس تناظر میں لکیری استحالہ میں مثال ۱ بھی دیکھو، جس کی رو سے نیلے پلین کے کسی نکتہ کو لکھنے کے لیے دو عدد کافی ہو سکتے ہیں۔ گویا نیلا پلین $\mathbb{R}^3$ کی سمتیہ ذیلی فضا ہے جس کا بُعد (ڈائیمینشن) 2 ہے۔

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

V ایک سمتیہ فضا ہو جس کا بُعد n ہو۔

سمتیہ مجموعہ $\ v_1, v_2, \cdots, v_{t}$ اس فضا میں t باہمی لکیری آزاد سمتیوں کا مجموعہ ہو، جہاں $\ t < n$ ۔ اب اس مجموعہ میں $\ n-t$ سمتیوں کا اضافہ کر کے اسے فضا V کے لیے بنیاد سمتیہ مجموعہ بنیایا جا سکتا ہے۔ یعنی ایسے سمتیہ $\ v_{t+1}, v_{t+2}, \cdots, v_{n}$ ڈھونڈے جا سکتے ہیں کہ $\ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ فضا V کا بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو۔

فضا V کے بُعد (ڈائیمینشن) کو ہم ‭dim(V) ‬ لکھتے ہیں۔ اگر فضا U ، فضا V کی ذیلی فضا ہو، تو $\hbox{dim(U)} \le \hbox{dim(V)}$

اگر $dim(U) = dim(V)$ ، تو لازمی طور پر (ایسا اسی صورت ممکن ہے، اور صرف اسی صورت ممکن ہے) $U = V$ ۔ یعنی دو لکیری فضاؤں کے بُعد برابر ہونے کا لازمی مطلب ہے کہ دونوں اصل میں ایک ہی فضا ہیں۔

[ترمیم کریں] اور دیکھو

سمتیہ فضا

              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ           ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%84/%DA%A9/%DB%8C/%D9%84%DA%A9%DB%8C%D8%B1%DB%8C_%D8%B0%DB%8C%D9%84%DB%8C_%D9%81%D8%B6%D8%A7.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

We provide Linux to the World

لکیری ذیلی فضا

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم کریں] مثال

[ترمیم کریں] مثال

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

[ترمیم کریں] اور دیکھو

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں