Trekropparsproblemet

Wikipedia

I Trekropparsproblemet antas att man studerar ett universum med endast tre föremål, eller kroppar med givna massor, och vid en given tidpunkt, antas att man känner deras lägen, hastigheter och rörelseriktningar. Dessa tre kroppar påverkar varandra enligt lagarna inom klassisk mekanik, dvs Newtons gravitationslag. Det s.k. trekropparsproblemet ligger i att för en godtycklig tidpunkt i framtiden eller dåtiden bestämma de tre kropparnas lägen, hastigheter och rörelseriktningar.

En fullständig lösning till detta allmänna problem har man inte lyckats finna. Däremot har vissa specialfall kunnat fullständigt utredas. Hit hör två specialfall:

1. då kropparna vid rörelsens början befinner sig på samma räta linje på vissa, av massornas värden betingade avstånd och vidare hastigheterna vid rörelsens början är vinkelräta mot föreningslinjen samt ha vissa bestämda värden, som stå i beroende av massornas storlek: kropparna förhåller sig då i varje följande ögonblick på alldeles samma sätt som vid rörelsens början, och deras banor blir (såsom i tvåkropparsproblemet) koniska sektioner, samt
2. då kropparna vid rörelsens början befinner sig i spetsarna av en liksidig triangel och deras hastigheter är på speciellt sätt avpassade: de fortfar då att bilda en (under loppet av rörelsen till läge och storlek föränderlig) liksidig triangel, och banorna blir även i detta fall koniska sektioner.
3. I Eulers trekropparsproblem så är två av kropparna fixa i sina lägen och endast den tredje fri att röra sig. Detta problem kan lösas analytiskt med elliptiska integraler.

Viktigast med avseende på sina tillämpningar i naturen är emellertid det specialfallet, då två av massorna är mycket små i förhållande till den tredje ("centralkroppens"), tex solen, jorden och månen. Detta fall har stor betydelse, eftersom rörelserna inom vårt solsystem kan återföras därpå och eftersom det medger matematisk behandling, även om begynnelsetillstånden är fullt godtyckliga.

Låt m och m₁ vara de båda små kropparna och M den större (centralkroppen). För bestämning av till exempel m:s rörelse bortser man först från m₁; m:s rörelse är då en konisk sektion med M som fokus. Emedan massan m₁ är liten, kommer den verkliga rörelsen (åtminstone om icke oerhört långa tider avses) att endast obetydligt avvika från rörelsen i denna koniska sektion, och avvikelserna, som benämns perturbationer eller störningar, kan matematiskt härledas i form av oändliga serier, sammansatta av termer av formen a cos nt eller b sin nt, där t betyder tiden samt a, b och n är konstanter. Dessa serier konvergerar, d.v.s. att de termer, av vilka de är sammansatta, bli allt mindre, ju längre man går fram i serien. Till sist blir de så små, att våra observationsmedel icke räcker till att iaktta motsvarande belopp. Vid den praktiska användningen reducerar sig således dessa serier till ändliga uttryck. Man måste ändå i allmänhet medta ett mycket stort antal termer, växlande alltefter förhållandena. För återgivandet av månens rörelse gestaltar sig saken vidlyftigast; för planeterna blir beräkningen kortare.

Man får en föreställning om svårigheten av dessa uppgifter till exempel därav, att de termer, som framställer månens longitud, enligt Delaunays teori, utfyller icke mindre än 173 tryckta kvartsidor. Utförandet av dessa störningsräkningar underlättas av att planeterna och månarna samtliga rör sig i nästan cirkelformiga banor och att dessa banor i allmänhet ligger nästan i samma plan, det vill säga att excentriciteterna och inklinationerna är små.